Beweisen Sie, dass eine 6-stellige natürlichen Zahl der Form abcabc durch 7, durch 11 und durch 13 teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass eine 6-stellige natürlichen Zahl der Form "abcabc"
durch 7, durch 11 und durch 13 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

mir fehlt bei dieser Aufgabe jeglicher Ansatz. Ich weiß, dass ich ja eigentlich nur beweisen muss das abc durch 7,11, und 13 teilbar ist. Vielleicht kann mir jemand von euch eine Ansatzidee geben, wie man diesen Beweis verallgemeinert aufschreibt.

Liebe Grüße und

Comments

dass ich ja eigentlich nur beweisen muss das abc durch 7,11, und 13 teilbar ist.

Das könnte schwierig werden. 100 ist nicht durch 7, 11 und 13 teilbar.

Du könntest aber beweisen, dass abc000 und abc Gegenzahlen modulo 7 sind. Dann wäre

        abcabc = abc000 + abc ≡ 0 mod 7

Answer 1

Hallo,

Eine Zahl der Form 'abcabc' kann man sicher als Produkt schreiben:$$\text{'abcabc'} = \text{'abc'} \cdot 1000 +  \text{'abc'}  \cdot 1= \text{'abc'} \cdot 1001$$Jede Zahl, die \(1001\) teilt, teilt folglich auch 'abcabc'. Und es ist auch $$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$$

Comments

Vielen Dank, das verstehe ich.

Nur wie kommt man auf die Schreibweise des Produktes? Also warum mal 1000 und mal 1?

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Also warum mal 1000 und mal 1?

Wieviel ist 826 mal 1000? Taschenrechner raus holen und eintippen und wenn Du den TR richtig bedient hast, kommt 826000 heraus.

mache nun das gleiche für 123 mal 1000 und dann noch 591 mal 1000 und dann noch mal für 978 mal 1000. Und dann denkst Du Dir noch eine weitere 3-stellige Zahl aus und nimmst diese auch mit 1000 mal.

Fällt Dir was auf?

Und anschließend addiere bitte die gleiche dreistellige Zahl zu diesem Produkt hinzu. Oder - schwieriger - nehme irgendeine Zahl mit drei 0'en am Ende - z.B. 735000 und addiere eine weitere dreistellige Zahl - z.B. 123. Was fällt Dir beim Ergebnis auf.

Es ist übrigens für das Verständnis extrem(!) hilfreich, wenn Du versuchst, das alles mal schriftlich auszurechnen - also ohne TR. Kriegst Du das hin? ;-)

Falls nicht, so frage bitte nochmal nach.

PS.: Mathematik ist wie Fahrrad fahren! Man lernt es nicht durch zuschauen, man muss es selber probieren.

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Also warum mal 1000 und mal 1?

Ich hatte Dich wegen dieser Frage vorhin, so ca. in die 5. Klasse verortet. Jetzt habe ich mir Deine anderen Fragen angeschaut. 5.Klasse kann nicht sein!

Ich glaub' ich habe die Frage nicht verstanden. Wie meinst Du das jetzt mit "warum mal 1000 und mal 1"?

Answer 2

Das ist eine beliebte Betrachtung aus dem sechsten Schuljahr. Dort würde man vermutlich so vorgehen:

(a) Bestimme die Primfaktorzerlegung von 1001.

(b) Zeige, dass (zum Beispiel) 365365 durch 7 (oder 11 oder 13) teilbar ist.

Mit den Erkenntnissen aus (a) kann man es auch so machen:

abcabc =
abc*1001 =
abc*(7*11*13).

Man kann daraus schöne Übungen zur schriftlichen Dimension machen:

(c) Nimm eine beliebige dreistellige Zahl, notiere sie zweimal hintereinander und dividiere sie durch eine der drei Zahlen 7, 11 und 13. Dividiere dann das Ergebnis durch eine der beiden noch nicht verwendeten Zahlen und dieses Ergebnis schließlich durch die letzte, noch nicht verwendete Zahl. Das Ergebnis der letzten Division ist dann wieder die ursprüngliche Zahl.

Answer 3

Eine Zahl, die durch drei teilerfremde Zahlen teilbar ist, muss auch durch ihr Produkt teilbar sein.

7*11*13=1001

abcabc

=abc*1001

=abc*7*143

=abc*11*91

=abc*13*77

:-)

dass ich ja eigentlich nur beweisen muss das abc durch 7,11, und 13 teilbar ist.

Die Idee ist falsch.

Die Aufgabe lauter bestimmt:

... dass jede 6-stellige Zahl ...