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Aufgabe: Hallo Liebe Mathegemeinde, ich brauche eure Hilfe :)

Wie Berechnet man den ggT(f,g) für f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6 und g(x)= x^2 + 3x + 2 in R[x] ?



Problem/Ansatz: Ich habe es mit dem Euklidischen Algorithmus versucht verstehe allerdings noch nicht wie ich diesen genau umsetzen kann. Würde mich über Tipps/Lösungsvorschläge freuen.

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Aloha :)

Alle ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein. Für \(f(x)\) ist die Zahl ohne \(x\) die \((-6)\). Ihre Teiles sind \(\pm1,\pm2\,\pm3\,\pm6\). Wenn wir diese Werte einsetzen, finden wir Nullstellen bei \(1\), \((-2)\) und \((-3)\). Daher ist:$$f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)$$

Für \(g(x)\) ist die Zahl ohne \(x\) die \(2\). Ihre Teiler sind \(\pm1,\pm2\). Wieder finden wir durch Einsetzen die Nullstellen bei \((-1)\) und \((-2)\). Daher ist:$$g(x)=(x+2)(x+1)$$

Das Produkt aller Linearfaktoren, die sowohl in \(f\) als auch in \(g\) vorkommen, sind der ggT.$$\operatorname{ggT}(f;g)=(x+2)$$

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