ggT von Polynomen, euklidischer Algorithmus

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Polynome $f(x)=3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2, g(x)=3 x^{3}+4 x^{2}+x \in \mathbb{F}_{7}[x]$ und das davon erzeugte Ideal
$I=(f(x), g(x)):=\left\{a(x) f(x)+b(x) g(x) \mid a(x), b(x) \in \mathbb{F}_{7}[x]\right\} \subseteq \mathbb{F}_{7}[x] .$
(a) Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler $d(x)$ von $f(x)$ und $g(x)$, sowie Polynome $a(x), b(x) \in \mathbb{F}_{7}[x]$ mit $d(x)=a(x) p(x)+b(x) q(x)$.

Problem/Ansatz:

Ich hab mit einer Polynomdivision begonnen, aber irgendwie komme ich ab hier nicht mehr weiter:

$\begin{array}{l}g g T\left(3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2,3 x^{3}+4 x^{2}+x\right) \text { in } \mathbb{F}_{7}[x] \\ \qquad \begin{array}{c}\left(3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2\right):\left(3 x^{3}+4 x^{2}+x\right)=x^{2}+\frac{2}{3} \\ \frac{-\left(3 x^{5}+4 x^{4}+x^{3}\right)}{2 x^{3}+x^{2}+x+2} \\ \frac{-\left(2 x+\frac{3}{3} x^{2}+\frac{2}{3} x\right)}{\frac{2}{3} x^{2}+\frac{1}{3} x+2}\end{array}\end{array}$

Answer 1

in $\mathbb{F}_{7}$ gilt $\frac{2}{3}=3$, weil 3*3=9=2.

Also hast du:

$\left(3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2\right):\left(3 x^{3}+4 x^{2}+x\right)=x^{2}+3$

 $-\left(3 x^{5}+4 x^{4}+x^{3}\right)$

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                            $2 x^{3}+x^{2}+x+2$

                             $-(2 x^{3}+5x^{2}+3x)$

                      -----------------------------------------

                                         $3x^{2}+5x+2$

Comments

Okay, dann komme ich auf das hier:

$\begin{array}{l}\left(3 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+x^{2}+x+2\right):\left(3 x^{3}+4 x^{2}+x\right)=x^{2}+3+1 \\ \frac{-\left(3 x^{5}+4 x^{4}+x^{3}\right)}{2 x^{3}+x^{2}+x+2} \\ \frac{-\left(2 x^{3}+5 x^{2}+3 x\right)}{3 x^{2}+5 x+2} \\ 3 x^{3}+4 x^{2}+x+2\end{array}$

Muss ich das mit der 1 noch machen oder nicht weil irgendwie sieht das falsch aus

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Der Divisionsrest ist $3x^{2}+5x+2$.