KOnvergnezkritierium und Quotientenkriterium reihe

Question

Aufgabe:

Untersuchung auf Konvergenz mit Hilfe fes Majoranten bzw. Minorantenkriterium bzw. mit Hilfe Quotienenkritierium

   ∞

a) ∑ ( 1/(n²+1))

  n = 1

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2+1}<\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}\le1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n(n-1)}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2+1}}=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}$$$$\phantom{\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2+1}}=1+\left(\frac{1}{1}+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}+\frac{1}{N}\right)=1+1-\frac{1}{N}=2-\frac{1}{N}$$Für \(N\to\infty\) gilt also:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1}<2$$

Comments

Könntest du mir das Minoraten und Majoratenkritierium kruz erkläutern

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Schau mal hier das Video auf Youtube. Dort wird das ganz gut erklärt: