Aloha :)
Der Grenzwert der geometrischen Reihe lautet:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1\quad(\ast)$$Mit seiner Hilfe sollen wir \(4,3\overline{12}\) als Bruch schreiben.
Wir kümmern uns zuerst um die Darstellung von \(0,\overline{12}\) als Bruch.$$\small0,\overline{12}=0,\red{12}\green{12}{\color{blue}12}\ldots=\red{\frac{12}{100}}+\green{\frac{12}{10000}}+{\color{blue}\frac{12}{1000000}}+\ldots=\frac{12}{100}\left(\red{1}+\green{\frac{1}{100}}+{\color{blue}\frac{1}{100^2}}+\ldots\right)$$Wir erkennen eine geometrische Reihe mit \(q=\frac{1}{100}\):$$0,\overline{12}=\frac{12}{100}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{100}\right)^n\stackrel{(\ast)}{=}\frac{12}{100}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{12}{100}\cdot\frac{100}{100-1}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$$
Damit können wir \(4,3\overline{12}\) nun als Bruch schreiben:$$4,3\overline{12}=4,3+\frac{1}{10}\cdot0,\overline{12}=\frac{43}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{4}{33}=\frac{43\cdot33}{330}+\frac{4}{330}=\frac{1423}{330}$$
