Aloha :)
Wir müssen die Funktion \(k(x;y)\) unter der konstanten Nebenbedingung \(F(x;y)\) optimieren:$$k(x;y)=66x+88y\quad;\quad F(x;y)=2x^2+72xy+2y^2\stackrel!=7092\quad;\quad x,y\ge0$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion \(k\) proportional zum Gradienten der Nebenbedingung \(F\) sein. Der Proportionalitätsfaktor \(\lambda\) ist der Lagrange-Multiplikator:
$$\operatorname{grad}k(x;y)=\lambda\operatorname{grad}F(x;y)\quad\implies\quad\binom{66}{88}=\lambda\binom{4x+72y}{72x+4y}$$$$\frac{66}{88}=\frac{\lambda(4x+72y)}{\lambda(72x+4y)}\quad\implies\quad\frac{3}{4}=\frac{x+18y}{18x+y}\quad\implies\quad3(18x+y)=4(x+18y)$$$$54x+3y=4x+72y\quad\implies\quad50x=69y\quad\implies\quad\underline{\underline{\frac{x}{y}=\frac{69}{50}}}$$
Nach diesen Überlegungen sind wir gerüstet, um alle Fragen zu beantworten...
zu a) Menge \(x\) bei minimalen Kosten
Wir setzen \(y=\frac{50}{69}x\) in die Nebenbedingung ein:
$$7092=2x^2+72x\cdot\frac{50}{69}x+2\left(\frac{50}{69}x\right)^2=\left(2+\frac{3600}{69}+\frac{5000}{69^2}\right)x^2=\frac{262\,922}{69^2}\,x^2$$$$x^2=\frac{69^2\cdot7092}{262\,922}\quad\implies\quad x=69\sqrt{\frac{3\,546}{131\,461}}\quad\implies\quad \boxed{x=11,332350}$$
zu b) Menge \(y\) bei minimalen Kosten
$$y=\frac{50}{69}\,x=\frac{50}{69}\cdot11,332350\quad\implies\quad\boxed{y=8,211848}$$
zu c) Lagrange-Multiplikator bei minimalen Kosten
$$66=\lambda(4x+72y)=\lambda(4\cdot11,332350+72\cdot8,211848)=\lambda\cdot636,582460$$$$\boxed{\lambda=0,10367863}$$
zu d) Kostenminimales Faktorenverhältnis
Das haben wir ganz zu Anfang bestimmt:\(\quad\boxed{\frac{x}{y}=\frac{69}{50}=1,38}\).
zu e) Produktionskosten im Optimum
Hier brauchen wir unsere Ergebnisse nur in \(k(x;y)\) einzusetzen:\(\quad\boxed{k_{\text{min}}=1470,58}\)
