Eine Produktions eines Unternehmen laute...

Question

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute
F(x1,x2)=2x1²¹+72x1x2+2x2²,

wobei x1
und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 66 bzw. 88 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 7092 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B

existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Ermitteln Sie die folgenden Größen:

a. Bei welcher Menge von x1
werden bei einem Output von 7092
ME die Kosten minimal?

b. Bei welcher Menge von x2
werden bei einem Output von 7092
ME die Kosten minimal?

c. Welchen Wert nimmt der Lagrange-Multiplikator λ
im Kostenminimum ein?

d. Wie lautet das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren x1
und x2?

e. Wie hoch sind die Produktionskosten C(x1,x2)
im Optimum?

Problem/Ansatz:

Ich krieg die leider nicht hin. Wär lieb wenn jemand hilft :)

Comments

Die Produktionsfunktion ist höchst missverständlich hingeschrieben. Da steht eine 21. Potenz. Du solltest die Indices tief- und die Exponenten hochstellen.

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beim ersten nur hoch 2 das ganze, nicht hoch 21 sorry

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Du solltest die Indices tief- und die Exponenten hochstellen.

Answer 1

Aloha :)

Wir müssen die Funktion $k(x;y)$ unter der konstanten Nebenbedingung $F(x;y)$ optimieren:$$k(x;y)=66x+88y\quad;\quad F(x;y)=2x^2+72xy+2y^2\stackrel!=7092\quad;\quad x,y\ge0$$

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion $k$ proportional zum Gradienten der Nebenbedingung $F$ sein. Der Proportionalitätsfaktor $\lambda$ ist der Lagrange-Multiplikator:

$$\operatorname{grad}k(x;y)=\lambda\operatorname{grad}F(x;y)\quad\implies\quad\binom{66}{88}=\lambda\binom{4x+72y}{72x+4y}$$$$\frac{66}{88}=\frac{\lambda(4x+72y)}{\lambda(72x+4y)}\quad\implies\quad\frac{3}{4}=\frac{x+18y}{18x+y}\quad\implies\quad3(18x+y)=4(x+18y)$$$$54x+3y=4x+72y\quad\implies\quad50x=69y\quad\implies\quad\underline{\underline{\frac{x}{y}=\frac{69}{50}}}$$

Nach diesen Überlegungen sind wir gerüstet, um alle Fragen zu beantworten...

zu a) Menge $x$ bei minimalen Kosten

Wir setzen $y=\frac{50}{69}x$ in die Nebenbedingung ein:

$$7092=2x^2+72x\cdot\frac{50}{69}x+2\left(\frac{50}{69}x\right)^2=\left(2+\frac{3600}{69}+\frac{5000}{69^2}\right)x^2=\frac{262\,922}{69^2}\,x^2$$$$x^2=\frac{69^2\cdot7092}{262\,922}\quad\implies\quad x=69\sqrt{\frac{3\,546}{131\,461}}\quad\implies\quad \boxed{x=11,332350}$$

zu b) Menge $y$ bei minimalen Kosten

$$y=\frac{50}{69}\,x=\frac{50}{69}\cdot11,332350\quad\implies\quad\boxed{y=8,211848}$$

zu c) Lagrange-Multiplikator bei minimalen Kosten

$$66=\lambda(4x+72y)=\lambda(4\cdot11,332350+72\cdot8,211848)=\lambda\cdot636,582460$$$$\boxed{\lambda=0,10367863}$$

zu d) Kostenminimales Faktorenverhältnis

Das haben wir ganz zu Anfang bestimmt:$\quad\boxed{\frac{x}{y}=\frac{69}{50}=1,38}$.

zu e) Produktionskosten im Optimum

Hier brauchen wir unsere Ergebnisse nur in $k(x;y)$ einzusetzen:$\quad\boxed{k_{\text{min}}=1470,58}$

Answer 2

Der Lösungsweg:

- Aufgabe richtig abschreiben.

- Lagrange-Funktion aufstellen.

- Lagrange-Funktion jeweils nach x₁, x₂ und λ ableiten.

- Jede Ableitung gleich Null setzen.

- Gleichungssystem mit drei Gleichungen (die Ableitungen) in drei Unbekannten (x₁, x₂ und λ) lösen.

- Die Lösungen sind das Kostenminimum.