Aloha :)$$f(x)=\sqrt x\quad;\quad x\in\mathbb R^{\ge0}\quad;\quad x_0=5$$
Sei \(\varepsilon>0\) beliebig, aber fest gewählt. Wir konstruieren im Folgenden ein \(\delta>0\), sodass für alle \(|x-x_0|<\delta\) gilt \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\) .
$$\left|f(x)-f(x_0)\right|=\left|\sqrt x-\sqrt5\right|=\left|\frac{(\sqrt x-\sqrt5)(\sqrt x+\sqrt5)}{\sqrt x+\sqrt5}\right|=\left|\frac{x-5}{\sqrt x+\sqrt5}\right|=\frac{|x-5|}{\sqrt x+\sqrt5}$$$$\phantom{\left|f(x)-f(x_0)\right|}<\frac{\delta}{\sqrt x+\sqrt5}\le\frac{\delta}{\sqrt5}=\varepsilon\quad\implies\quad\delta=\sqrt5\cdot\varepsilon$$
Damit ist die Funktion \(f(x)\) stetig in \(x_0=5\).
