Aufgabe:
Hallo Leute,
Ich hätte da ne Frage und zwar will folgendes beweisen. Weiß aber net wie…
Und zwar haben wir eine Matrix B ∈ \( ℝ^{n×n} \).
Und nun will ich zeigen: Wenn B regulär ist, dann existiert kein g ∈ ℕ, derart dass \( B^{g} \)=0.
Würde mich über Hilfe freuen.
Wenn \(B\in \mathbb{R}^{n\times n}\) regulär ist, dann ist \(\det(B)\neq 0\) und nach dem Determinantenmultiplikationssatz gilt für alle \(n\in \mathbb{N}\):$$\det(B\cdot \ldots \cdot B)=\det(B^n)=[\det(B)]^n\neq 0$$ Kann es mit dieser Überlegung einen Nilpotenzgrad \(g\in \mathbb{N}\) geben, so dass \(B^g=0\) und damit \(\det(B^g)=0\)?
Nein kann es nicht. Vielen Dank für die schnelle und gute Erklärung. Und das reicht schon als Beweis oder?
Damit ist gezeigt, dass aus der Regularität der Matrix folgt, dass \(\det(B^n)\neq 0\) für alle \(n\in \mathbb{N}\) gilt. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass kein \(g\in \mathbb{N}\) exisitiert, so dass \(B^g=0\). Das war zu zeigen.
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