Konstruieren Sie einen K-Vektorraum F(M), sodass M eine Basis von F(M) ist.

Question

Sei M eine Menge und sei K ein Körper.

Konstruieren Sie einen K-Vektorraum F(M), sodass M eine Basis von F(M) ist.

(Genauer: Formal gesehen müssen die Elemente von M keine Vektoren in F(M) sein, sondern vermöge einer Bijektion mit einer Teilmenge von F(M) identiziert werden können.
Diese Teilmenge soll dann eine Basis von F(M) sein.)

Answer 1

Sei \(T\) die Menge aller Terme der Form

        \(\alpha_{1}m_{1}+\alpha_{2}m_{2}+\dots+\alpha_{n}m_{n}\)

mit \(n\in\mathbb{N}\), \(\{\alpha_{1},\dots, \alpha_{n}\}\subseteq K\) und \(\{m_1,\dots,m_{n}\} \subseteq M\).

Definiere auf \(T\) eine geeignete Äquivalenzrelation. \(F(M)\) sei die Menge der Äquivalenzklassen von \(T\) bezüglich der Äquivalenzrelation.