Abschätzen Sie ohne explizite Berechnung des Integrals

Question

Hallochen! Ich kann mit diesen Aufgabe nich so ganz zu Recht kommen:

Schätzen Sie ohne explizite Berechnung des Integrals ab:

$\int\limits_{0}^{1}$ ln(x+2)dx ≤ln(3).

Ich muss mit Mittelwertsatz das lösen, oder?

Answer 1

Aloha :)

Im Intervall $x\in[0;1]$ gilt $\ln(x+2)\le\ln(3)$. Daher gilt für das Integral:$$\int\limits_0^1\ln(x+2)dx\le\int\limits_0^1\ln(3)dx=\ln(3)\cdot(1-0)=\ln(3)$$

Answer 2

Das Integral $\int_{0}^{1} \ln(x+2)\,\mathrm{d}x$ ist kleiner als der Flächeninhalt das Rechtecks mit Eckpunkten $\left(0|0\right)$, $\left(1|0\right)$, $\left(1|\ln(1+2)\right)$ und $\left(0|\ln(1+2)\right)$.

Grund ist, dass der Integrand im Intervall $[0,1]$ positiv und monoton ist.