Zeige folgende Taylorpolynome..

Question

LEUTE???

Die Aufgaben 4-6.. Kann die mir bitte jemand Lösen? Ich weiß nicht was die wollen, vor allem die anderen Aufgaben habe ich schon lösen können, aber was geht da ab!? .

Text erkannt:

1. Bestimmen Sie das Taylorpolynome zweiten Grades der Funktion
$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: \quad x \rightarrow e^{x} $$
an der Stelle \( \hat{x}=0 \).
2. Bestimmen Sie das Taylorpolynome zweiten Grades der Funktion
$$ f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}: \quad x \rightarrow \log (1+x) $$
an der Stelle \( \hat{x}=0 \).
3. Bestimmen Sie das Taylorpolynome zweiten Grades der Funktion
$$ f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}: \quad x \rightarrow(1+x) \cdot \log (1+x) $$
an der Stelle \( \hat{x}=0 \).
4. Zeigen Sie
$$ e^{x} \geq 1+x \text { für alle } x \in \mathbb{R} \text { . } $$
5. Zeigen Sie
$$ \log (1+x) \leq x \quad \text { für alle } x>-1 . $$
6. Zeigen Sie
$$ \log (1+x) \geq \frac{x}{1+x} \text { für alle } x>-1 \text { . } $$
Hinweis: Für 4.-6. bietet es sich an Satz \( 2.12 \) zu nutzen.

Comments

bietet es sich an Satz \( 2.12 \) zu nutzen

Was steht denn im Satz 2.12 ?

Answer 1

Text erkannt:

Satz \( 2.12 \) Ist die Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R}(n+1)-m a l \) differenzierbar in \( I \), so gilt
$$ f(x)-T_{n}(x ; \widehat{x})=\frac{1}{(n+1) !} f^{(n+1)}(t)(x-\widehat{x})^{n+1} $$
wobei t eine (i.A. unbekannte) Zwischenstelle zwischen \( x \) und \( \widehat{x} \) bezeichnet.
Wir verzichten im weiteren auf einen Beweis dieses Satzes, veranschaulichen aber zumindest einmal seine Aussage im einfachsten Fall, nämlich für \( n=0 . \) In diesem Fall ist das Taylorpolynom die konstante Funktion \( T_{0}(x ; \widehat{x})=f(\widehat{x}) \) und eine einfache Umstellung der Gleichung des Satzes ergibt
$$ \frac{f(x)-f(\widehat{x})}{x-\widehat{x}}=f^{\prime}(t) $$
für ein geeignetes \( t \) zwischen \( x \) und \( \widehat{x} \). Dieser Spezialfall von Satz \( 2.12 \) wird Mittelwertsatz genannt: Er besagt, dass die Steigung der Sekante durch die Punkte \( (\widehat{x}, f(\widehat{x})) \) und \( (x, f(x)) \) mit der Tangentensteigung in einem Punkt \( (t, f(t)) \) mit \( t \) zwischen \( x \) und \( \widehat{x} \) übereinstimmt.
Abb. 2.3. Geometrische Interpretation des Mittelwertsatzes

das hier aber ich konnte damit wirklich 0 anfangen..

Comments

Das (der Satz in den ersten drei Zeilen) ist die Anleitung, wie man Taylorpolynome ausrechnet.

Aufgaben 4 bis 6 kannst Du mit den Antworten von 1 bis 3 lösen.

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ich verstehe immer noch nicht wie ich die letzten drei machen soll :/

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Die sind aus gutem Grund die letzten drei. Schreibe doch mal Deine Lösung für die ersten drei hin.