a) Im Folgenden finden Sie Permutationen der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} dargestellt in der Zykelschreibweise. Stellen
Sie diese dar als genau eine Permutation in der vertrauten zweizeiligen Schreibweise.
Beispiel:
(1 3 5) ◦ (1 2 6) = (1 2 3 4 5 6)
2 6 5 4 1 3
(i) (1 5 6 4)
(ii) (2 6 3 4 5)
(iii) (2 4 3 5) ◦ (1 2 3)
(iv) (1 5 4) ◦ (4 6) ◦ (2 4 5)
b) Geben Sie zu den Zykeln (i) und (ii) aus Aufgabenteil (a) die jeweils inverse Permutation in Zykelschreibweise
an. Überlegen Sie sich darauf aufbauend, wie sich für jeden beliebigen Zykel (i1 i2 . . . ik), wobei die i1, . . . , ik für
k verschiedene natürliche Zahlen stehen, der jeweils inverse Zykel angeben lässt.
c) Umkehrung zu (a): Schreiben Sie die folgenden Permutationen in Zykelschreibweise.
Hinweis: Es kann notwendig sein, ein Produkt aus mehreren Zykeln angeben zu müssen.
(i) (1 2 3 4 5 6)
3 6 4 2 1 5
(ii) (1 2 3 4 5 6)
6 2 5 3 4 1
(iii) (1 2 3 4 5 6)
4 1 3 5 2 6
(iv) (1 2 3 4 5 6)
2 1 6 4 5 3
d) Betrachten Sie diese beiden Beispiele, in der Zykel durch Hintereinanderausführungen von Transpositionen dargestellt werden:
(2 4 6) = (2 6) ◦ (2 4)
(1 5 6 3) = (1 3) ◦ (1 6) ◦ (1 5)
Überlegen Sie sich darauf aufbauend, wie sich jeder beliebige Zykel (i1 i2 . . . ik), wobei die i1, . . . , ik für k
verschiedene natürliche Zahlen stehen, durch eine Hintereinanderausführung von Transpositionen darstellen lässt
und geben Sie dieses Verfahren an.
e) Wählen Sie sich nun eine der Permutationen aus (a) und stellen Sie diese auf diese Weise als Hintereinanderausführung von Transpositionen dar.
