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Aufgabe:

Zur Zeit n=0 plazieren wie N Kugeln beliebig in K Urnen und ändern dies dann in jedem Schritt wir folgt: Wähle eine der Kugeln zufällig gleichverteilt aus und lege sie in eine ebenfalls zufällig gleichverteilte gewählte Urne. Sei Xn die Anzahl der Kugeln in der ersten Urne nach n Schritten und (Fn)n∈ℕ die natürliche Filtartion. Drücken Sie E[Xn+1lFn] durch Xn aus und finden Sie Werte an, bn, so dass Zn:=anXn+bn ein Martingal definiert.


Problem/Ansatz:

Ich komme hier wirklich nicht weiter, kann mir vielleicht jemand helfen. das wäre super lieb.

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Hallo,

es gilt

\( \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathcal{F_n}) = (X_n + 1) \cdot \frac{N-X_n}{N}\cdot\frac1K + (X_n - 1)\cdot\frac{X_n}{N}\cdot\frac{K-1}{K} + X_n\cdot\left(\frac{N-X_n}{N}\cdot\frac{K-1}{K}+\frac{X_n}{N}\cdot\frac1K\right)\)

\( = X_n\cdot\frac{N-1}{N}+\frac1K \)

Für den zweiten Teil wende die Aufgabe davor mit \( u_n = \frac{N-1}{N}\) und \( v_n = \frac1K \) an.

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