Matheaufgabe in Klasse 11

Question

Aufgabe:

Gegeben: f(x) = sin(x) mit x ∈ ℝ, 0 ≤ x ≤ π

Es existiert eine quadratische Funktion g mit folgenden Eigenschaften:

- Die Funktion f und g haben gleiche Nullstellen

- Die Graphen von f und g haben den gleichen lokalen Hochpunkt

Ermitteln Sie eine Gleichung Für g

Problem:

Hallo ihr lieben,

Kann mir bitte einer diese Aufgabe lösen?

Schon mal ein riesen großes Danke im Vorfeld :-)

Comments

g(x) = ax²+bx+c

g(0)= 0

g(pi) = 0

g '(pi/2) =0

Answer 1

Hallo,

Du kennst doch sicher die Scheitelpunkt-Form einer Parabel$$g(x) = a(x-x_s)^2 + y_s$$wobei $(x_s|\,y_s)$ die Kordinaten des Scheitelpunkts sind. Die Funktion $f(x)=\sin(x)$ ist symmetrisch zu $x=\pi/2$. Dort liegt ein Maximum der Funktion mit $$f\left(\frac \pi2\right) = \sin\left( \frac\pi2\right) = 1$$Demnach ist $$x_s = \frac \pi2, \quad y_s=1$$Fehlt noch der Parameter $a$. Die Nullstellen von $f$ im Intervall $[0;\,\pi]$ liegen bei $0$ und $\pi$. Daraus folgt$$g(0) = a\left(0-\frac \pi2\right)^2 + 1 = 0, \quad \implies a = -\frac{4}{\pi^2}$$Der Plot zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist.

Plotlux öffnen

f₁(x) = sin(x)f₂(x) = 1-4/π²(x-π/2)²Zoom: x(-1…4) y(-1,2…2)

$$g(x)= -\frac{4}{\pi^2}\left( x - \frac \pi2\right)^2 + 1 = -\frac{4}{\pi^2}x^2 + \frac 4\pi x = \frac{4x}{\pi}\left( 1- \frac x\pi\right)$$

Answer 2

Die Nullstellen von f im Bereich x ∈ ℝ, 0 ≤ x ≤ π sin x=0 und x=π. Der Hochpunkt ist ($\frac{π}{2}$ |1)

Ansatz: g(x)=a·x·(x-π); ($\frac{π}{2}$ |1) einsetzen, nach a auflösen und a in den Ansatz einsetzen.

Answer 3

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.

Kapitel,trigonometrische Funktionen

y=f(x)=sin(x)

Nullstellen x=k*pi → k=0,1,2,3..

Extrema x=pi/2+k*pi → k=0,1,2,3..

Wendepunkte x=k*pi → k=0,1,2,3..

1.te Nst. x1=0*pi=0

2.te Nst. x2=1*pi=pi

3.te Nst. x3=2*pi

1.te Extrema x=pi/2+0*pi=pi/2 → f(pi/2)=sin(pi/2)=1 → Maximum

g(x)=a*(x-xs)²+ys → Scheitelpunkt Ps[(pi/2)/1] → xs=pi/2 und ys=1

g(x)=a*(x-pi/2)²+1  Nst. x1=0

g(0)=0=a*(0-pi/2)²+1

a=-1/(pi/2)²=-1*4/pi²=-4/pi²

g(x)=-4/pi²*(x-pi/2)²+1

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

che Fonktisee Bedingung "Puaktsynetrien i "Aehssynetrie"
$f(x)=\sin (x)$ und $f(x)=\cos (x)$ sind un gi/2-9at seneneinander rer
$y=f(x)=\sin (x$
ipu
a=heplitude,Ausachlag nach "oben" und "untenten" un elne Mit
2.pi=Vo11kreis in rad (Radiant-Bogentall)
$b>0$ verschiebt den Graphen auf der $x$ -hchse nach "tinken
b<0 verschiebt den Graphen auf der x-Ache nach "rechta" verschiebt den Graphen nach "oben"
ce0 verschiebt den Graphen nach "ant
den Betrag "1"
8

 Plotlux öffnen

f₁(x) = sin(x)f₂(x) = -4/π²·(x-π/2)²+1f₃(x) = 1Zoom: x(-2…4) y(-2…2)x = π/2

Comments

Fonktisee ... "Puaktsynetrien i "Aehssynetrie"

Hmmmm...