Aloha :)
Der Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe$$f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty2^nx^n=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n\quad;\quad a_n\coloneqq 2^n$$ist der Grenzwert des folgenden Ausdrucks:$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\quad\implies\quad r=\frac{1}{2}$$Für \(|x|<r=\frac{1}{2}\) bzw. \(x\in\left(-\frac{1}{2}\,\big|\,\frac{1}{2}\right)\) konvergiert die Potenzreihe \(f(x)\) also sicher.
Der Vollständigkeit wegen untersuchen wir noch die Ränder des Konvergenzintervalls.$$x=\frac{1}{2}\implies f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty 2^n\cdot\left(\frac12\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty1\to\infty$$$$x=-\frac{1}{2}\implies f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty 2^n\cdot\left(-\frac12\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\implies\text{alternierend}$$
Wir sollen für den Konvergenzbereich \(|x|<\frac{1}{2}\) den Wert von \(f(x)\) angeben.$$|x|<\frac{1}{2}\implies|x|^n<\frac{1}{2^n}\implies|2x|^n<2^n\cdot\frac{1}{2^n}=1$$Wegen \(|2x|^n<1\) können wir auf die Potenzreihe die Summenformel für die geometrische Reihe anwenden und erhalten:$$f(x)=\frac{1}{1-2x}\quad\text{für }|x|<\frac{1}{2}$$
