Aloha :)
Wir müssen uns zunächst überlegen, welche Punktmenge D von den beiden Funktionenf(x)=x4−x2+1undg(x)=x2eingeschlossen wird. Dazu benötigen wir deren Schnittpunkte:0=!f(x)−g(x)=(x4−x2+1)−x2=x4−2x2+1=(x2−1)2=(x−1)2(x+1)2Die Schnittpunkte liegen also bei x=±1. Wegen f(0)=1 und g(0)=0 ist f(x)≥g(x) in x∈[−1∣1]. Unsere Punktmenge können wir daher wie folgt beschreiben:D={(x;y)∈R2∣∣∣−1≤x≤1∧x2≤y≤x4−x2+1}
Plotlux öffnen f1(x) = x4-x2+1f2(x) = x2P(-1|1)P(1|1)Zoom: x(-1,5…1,5) y(0…1,2)
Damit können wir das Integral über h(x;y)=1+x−y ausformulieren:
I=∬Dh(x;y)dx=x=−1∫1y=x2∫x4−x2+1(1+x−y)dxdy=−1∫1[y+xy−2y2]y=x2x4−x2+1dxI=−1∫1(((x4−x2+1)(1+x)−2(x4−x2+1)2)−(x2(1+x)−2x4))dxI=−1∫1(x4−2x2+1)(1+x)+2x4−[(x4−x2)2+2(x4−x2)+1])dxI=−1∫1(x4−2x2+1)dx+−1∫1(x5−2x3+x)dx−−1∫12x8−2x6+2x4−2x2+1dxI=2[5x5−32x3+x]01+0−[9x9−72x7+52x5−32x3+x]01I=52−34+2−91+72−52+32−1=−32+1−91+72=79−97=6332