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Hallo ,

Wüsste vielleicht jemand wie ich bei der Aufgabe nr 1 vorgehen müsste?

Vielen Dank schonmal im Voraus :)70255E9D-BE69-4049-ADF1-C7B0062C1A9B.jpeg

Text erkannt:

Aufgabe 1 .
(a) Sei DR2 D \subset \mathbb{R}^{2} der Normalbereich, der von den Graphen der durch f(x)=x4x2+1 f(x)=x^{4}-x^{2}+1 und g(x)=x2 g(x)=x^{2} definierten Funktionen f,g : RR f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} eingeschlossen wird. Sei ferner h : R2R h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} gegeben durch h(x,y)=1+xy. h(x, y)=1+x-y . Berechnen Sie das Integral
Dh(x,y)dx. \iint_{D} h(x, y) d \vec{x} .

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Aloha :)

Wir müssen uns zunächst überlegen, welche Punktmenge DD von den beiden Funktionenf(x)=x4x2+1undg(x)=x2f(x)=x^4-x^2+1\quad\text{und}\quad g(x)=x^2eingeschlossen wird. Dazu benötigen wir deren Schnittpunkte:0=!f(x)g(x)=(x4x2+1)x2=x42x2+1=(x21)2=(x1)2(x+1)20\stackrel!=f(x)-g(x)=(x^4-x^2+1)-x^2=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2Die Schnittpunkte liegen also bei x=±1x=\pm1. Wegen f(0)=1f(0)=1 und g(0)=0g(0)=0 ist f(x)g(x)f(x)\ge g(x) in x[11]x\in[-1|1]. Unsere Punktmenge können wir daher wie folgt beschreiben:D={(x;y)R21x1    x2yx4x2+1}D=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,-1\le x\le1\;\land\;x^2\le y\le x^4-x^2+1\}

Plotlux öffnen

f1(x) = x4-x2+1f2(x) = x2P(-1|1)P(1|1)Zoom: x(-1,5…1,5) y(0…1,2)

Damit können wir das Integral über h(x;y)=1+xyh(x;y)=1+x-y ausformulieren:

I=Dh(x;y)dx=x=11y=x2x4x2+1(1+xy)dxdy=11[y+xyy22]y=x2x4x2+1dxI=\iint_D h(x;y)\,d\vec x=\int\limits_{x=-1}^1\int\limits_{y=x^2}^{x^4-x^2+1}(1+x-y)\,dx\,dy=\int\limits_{-1}^1\left[y+xy-\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{x^4-x^2+1}dxI=11(((x4x2+1)(1+x)(x4x2+1)22)(x2(1+x)x42))dx\phantom{I}=\int\limits_{-1}^1\left(\left((x^4-x^2+1)(1+x)-\frac{(x^4-x^2+1)^2}{2}\right)-\left(x^2(1+x)-\frac{x^4}{2}\right)\right)dxI=11(x42x2+1)(1+x)+x4[(x4x2)2+2(x4x2)+1]2)dx\phantom{I}=\int\limits_{-1}^1\left(x^4-2x^2+1)(1+x)+\frac{x^4-[(x^4-x^2)^2+2(x^4-x^2)+1]}{2}\right)dxI=11(x42x2+1)dx+11(x52x3+x)dx11x82x6+2x42x2+12dx\phantom{I}=\int\limits_{-1}^1\left(x^4-2x^2+1\right)dx+\int\limits_{-1}^1\left(x^5-2x^3+x\right)dx-\int\limits_{-1}^1\frac{x^8-2x^6+2x^4-2x^2+1}{2}dxI=2[x552x33+x]01+0[x992x77+2x552x33+x]01\phantom{I}=2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right]_0^1+0-\left[\frac{x^9}9-\frac{2x^7}{7}+\frac{2x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right]_0^1I=2543+219+2725+231=23+119+27=9779=3263\phantom{I}=\frac{2}{5}-\frac{4}{3}+2-\frac19+\frac27-\frac25+\frac23-1=-\frac23+1-\frac19+\frac27=\frac97-\frac79=\frac{32}{63}

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Vielen Dankkk

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Hallo

zeichne doch das Gebiet mal auf, es geht von einem zum nächsten Schnittpunkt von f=g also von x=-1 bis +1 und über y=f(x)-g(x)

Das Zeichnen oder Skizzierten von D sollte immer der erste Schritt sein. wozu gibt es so viele Funktionsplotter sonst? (auch hier plotlux)

Gruß lul

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