Aloha :)
Wir müssen uns zunächst überlegen, welche Punktmenge \(D\) von den beiden Funktionen$$f(x)=x^4-x^2+1\quad\text{und}\quad g(x)=x^2$$eingeschlossen wird. Dazu benötigen wir deren Schnittpunkte:$$0\stackrel!=f(x)-g(x)=(x^4-x^2+1)-x^2=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2$$Die Schnittpunkte liegen also bei \(x=\pm1\). Wegen \(f(0)=1\) und \(g(0)=0\) ist \(f(x)\ge g(x)\) in \(x\in[-1|1]\). Unsere Punktmenge können wir daher wie folgt beschreiben:$$D=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,-1\le x\le1\;\land\;x^2\le y\le x^4-x^2+1\}$$
~plot~ x^4-x^2+1 ; x^2 ; {-1|1} ; {1|1} ; [[-1,5|1,5|0|1,2]] ~plot~
Damit können wir das Integral über \(h(x;y)=1+x-y\) ausformulieren:
$$I=\iint_D h(x;y)\,d\vec x=\int\limits_{x=-1}^1\int\limits_{y=x^2}^{x^4-x^2+1}(1+x-y)\,dx\,dy=\int\limits_{-1}^1\left[y+xy-\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{x^4-x^2+1}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{-1}^1\left(\left((x^4-x^2+1)(1+x)-\frac{(x^4-x^2+1)^2}{2}\right)-\left(x^2(1+x)-\frac{x^4}{2}\right)\right)dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{-1}^1\left(x^4-2x^2+1)(1+x)+\frac{x^4-[(x^4-x^2)^2+2(x^4-x^2)+1]}{2}\right)dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{-1}^1\left(x^4-2x^2+1\right)dx+\int\limits_{-1}^1\left(x^5-2x^3+x\right)dx-\int\limits_{-1}^1\frac{x^8-2x^6+2x^4-2x^2+1}{2}dx$$$$\phantom{I}=2\left[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right]_0^1+0-\left[\frac{x^9}9-\frac{2x^7}{7}+\frac{2x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right]_0^1$$$$\phantom{I}=\frac{2}{5}-\frac{4}{3}+2-\frac19+\frac27-\frac25+\frac23-1=-\frac23+1-\frac19+\frac27=\frac97-\frac79=\frac{32}{63}$$
