Zeigen Sie die folgenden Aussagen mithilfe des Satzes von Cayley-Hamilton

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die folgende Aussage mithilfe des Satzes von Cayley-Hamilton.

Sei A ∈ M_n;n(ℂ) eine Matrix, die genau die Eigenwerte 1 und -3 besitzt. Dann gilt:

(A - E_n)^n-1(A + 3E_n)^n-1 = 0

Comments

Was mich am meisten an dieser Aufgabe stört, ist das ich die "n-1" nicht so richtig zuordnen kann. Weiß Jemand wieso da "n-1" auftaucht?

Answer 1

Hallo,

da \( A \in M_{n,n}(\mathbb{C}) \) genau die Eigenwerte -1 und 3 besitzt, ist das charakteristische Polynom von der Form

\( \chi_A =(-1)^n \cdot (t-1)^{n-m} \cdot (t+3)^m \) für ein \( m \in \lbrace{1,\dots,  n-1\rbrace} \)

Dann existiert ein \( h \in \mathbb{C}[t]\), sodass \(h\cdot \chi_A = (t-1)^{n-1} \cdot (t+3)^{n-1}\).

Mit \( f\coloneqq (t-1)^{n-1} \cdot (t+3)^{n-1} \) gilt dann \( f(A) = h(A)\chi_A(A) = h(A)\cdot 0 = 0\), da nach Cayley-Hamilton \(\chi_A(A) = 0 \)

Comments

\((A-E_n)^{n-m}=0\) oder \((A+3E_n)^m=0\).

Warum gilt das?

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Da war ich unaufmerksam, ich habe das Argument angepasst.