Cayley Hamilton , Matrixpotenz

Question

Aufgabe:

Sei A∈ \( K^{n×n} \)

Bestimmen Sie ein Polynom p mit Grad deg(p) ≤ n − 1, sodass \( A^{n+1} \)  = p(A) ist.

Brauche Hilfe ich verstehe nicht wie man auf das Ergebnis kommen soll. Man muss das mit der Definition vom Satz von Cayley Hamilton machen, aber ich weiß nicht wie?

Comments

ix vertippt ?

p(A) = A^n oder A^(n+1) ?

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\( A^{n+1} \)

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Das steht wirklich p(a)=\( A^{n+1} \), mich wundert das auch total...

Answer 1

Jetzt habe ich doch noch eine Idee:

Die Potenzen von A erzeugen einen Vektorraum mit einer Dimension

kleiner oder gleich n. Also gibt es für A^(n+1) eine Linearkombination

  x₁*A + x₂*A^2 + …. + x_n*A^n  =   A^(n+1)     #

Andererseits ist das char. Polynom p von A vom

Grad n und es gilt  p(A) = 0

     =>    Es gibt mo, m1,...,mn aus K  mit

            mo*E +m₁*A + m₂*A^2 + ….. + m_n*A^n = 0 ##

  Wegen grad=n ist  m_n≠0 und somit lässt

sich ## nach A^n auflösen und bei #

einsetzen. Dann hat man bei # auf der

linken Seite ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich n-1.