Aloha :)$$\text{Normalverteilung mit}\quad\mu=635\quad;\quad\sigma=23$$
a. Wie viel % der Ananasdosen wiegen weniger als 649.26 g?
$$P(X<649,25)=\Phi\left(\frac{649,25-635}{23}\right)=\Phi(0,619565)\approx0,732228\approx\boxed{73,22\%}$$
b. Welches Abfüllgewicht (in g) wird von 67% der Ananasdosen unterschritten?
$$0,67=P(X>G)=1-P(X<G)=1-\Phi\left(\frac{G-635}{23}\right)\implies$$$$\Phi\left(\frac{G-635}{23}\right)=0,33\stackrel{\Phi^{-1}}{\implies}\frac{G-635}{23}=\Phi^{-1}(0,33)\approx-0,439913\implies$$$$G=(-0,439913)\cdot23+635\approx\boxed{624,88}$$
c. Der Hersteller möchte garantieren, dass die enthaltene Abfüllmenge zwischen 607.86g und 662.14g liegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit (in %) trifft dies zu?
$$P(607,68\le X<662,14)=P(X<662,14)-P(X<607,68)$$$$\quad=\Phi\left(\frac{662,14-635}{23}\right)-\Phi\left(\frac{607,68-635}{23}\right)=\Phi(1,18)-\Phi(-1,18)$$$$\quad\approx0,881000-0,119000=0,762=\boxed{76,20\%} $$
d. Der Hersteller möchte jedoch ein um μ symmetrisches Intervall angeben, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 94% die angegebene Abfüllmenge enthält. Wie lautet die obere Grenze des neuen Intervalls?
$$0,94=P(\mu-g\le X<\mu+g)=P(X<\mu+g)-P(X<\mu-g)$$$$\phantom{0,94}=\Phi\left(\frac{(\mu+g)-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{(\mu-g)-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{g}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{g}{\sigma}\right)$$$$\phantom{0,94}=\Phi\left(\frac{g}{\sigma}\right)-\left(1-\Phi\left(\frac{g}{\sigma}\right)\right)=2\Phi\left(\frac{g}{\sigma}\right)-1\implies$$$$2\Phi\left(\frac{g}{\sigma}\right)=1,94\implies\Phi\left(\frac{g}{23}\right)=0,97\stackrel{\Phi^{-1}}{\implies}\frac{g}{23}=\Phi^{-1}(0,97)\approx1,880794\implies$$$$g=1,880794\cdot23\approx43,2583\implies\mu+g\approx\boxed{678,26}$$
e. Der Hersteller möchte weiterhin das Intervall [607.86; 662.14] verwenden (siehe c.). Jedoch soll dafür die Wahrscheinlichkeit, dass die angebene Abfüllmenge enthalten ist, auf 94% gesteigert werden (siehe d.). Die Standardabweichung müsste vom Hersteller auf wie viel g gesenkt werden?
$$0,94=P(607,86\le X<662,14)=P(X<662,14)-P(X<607,68)$$$$\phantom{0,94}=\Phi\left(\frac{662,14-635}{\sigma_{\text{neu}}}\right)-\Phi\left(\frac{607,68-635}{\sigma_{\text{neu}}}\right)=\Phi\left(\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}\right)-\Phi\left(-\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}\right)$$$$\phantom{0,94}=\Phi\left(\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}\right)-\left(1-\Phi\left(\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}\right)\right)=2\Phi\left(\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}\right)-1\implies$$$$2\Phi\left(\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}\right)=1,94\implies\Phi\left(\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}\right)=0,97\stackrel{\Phi^{-1}}{\implies}\frac{27,14}{\sigma_{\text{neu}}}=\Phi^{-1}(0,97)\approx1,880794\implies$$$$\sigma_{\text{neu}}=\frac{27,14}{1,880794}\approx\boxed{14,43}$$
