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Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \) \( \frac{2}{k^2+4k+3} \)


Berechnen Sie für die oben genannte Reihe den Reihenwert.


Problem/Ansatz:

Als Lösung wurden 5/6 genannt.

Ich komme jedoch auf 5/12.

Sieht vielleicht jemand meinen Fehler?


Meine Schritte:

1. Nenner umformen zu (k+2)^2-1

2. Partialbruchzerlung mit (k+2)^2 im Nenner

3. A = -1/4 u. B = 1/4

4. Grenzen verschieben so das ich zum Ende folgendes habe:


\( \frac{1}{4} \) \( \sum\limits_{l=0}^{n-1}{\frac{1}{l+2}} \) - \( \frac{1}{4} \) \( \sum\limits_{l=1}^{n}{\frac{1}{l+2}} \)


daraus berechne ich dann:


\( \frac{1}{4} \)(\( \frac{1}{2} \)+\( \frac{1}{3} \)) - \( \frac{1}{4} \)(\( \frac{1}{n} \)+\( \frac{1}{n-1} \))


dafür den Grenzwert berechnet, der bei mir \( \frac{5}{24} \) beträgt dann mit 2 Multipliziert, da ich zu Beginn die 2 aus dem Zähler vor die Summe gezogen habe, aber das ergibt dann \( \frac{5}{12} \)  und nicht \( \frac{5}{6} \)


Finde es merkwürdig das es genau um den Faktor zwei abweicht, so verkehrt wars dann bis dahin ja nicht.

Wäre euch dankbar wenn mir einer auf die Sprünge helfen kann.

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Deine PBZ scheint falsch zu sein: Besser vielleicht \(\dfrac2{k^2+4k+3}=\dfrac2{(k+1)(k+3)}=\dfrac1{k+1}-\dfrac1{k+3}\).

1 Antwort

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Hallo

gut ist noch 1. Nenner umformen zu (k+2)^2-1

aber dann Partialbruchzerlung mit (k+2)^^2 im Nenner verstehe ich nicht,

du hast doch (k+2)^2-1=(k+2+1)*(k+2-1)=(k+3)*(k+2) wie du zu den l+2 im Nenner kommst ist mir nicht klar.

(Um Fehler zu vermeiden hilft oft die ersten 3 bis 4 Summanden der ursprünglichen Summe und die der aufgeteilten zu bestimmen)

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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