Aufgabe:
Aufgabe 1: Gegeben sei die Menge \( M=M_{0} \cup M_{1} \) mit
\( M_{0}=\{(0, y) \mid y \in[-1,1]\} \quad \text { und } \quad M_{1}=\left\{\left(x, \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right) \mid x \in(0, \infty)\right\} \)
a) Sei \( w:[0,1] \rightarrow M \) eine stetige Abbildung mit \( w(0)=(0,1) \) und \( w(1)= \) \( (1, \sin (1)) \)
b) \( w(t) \) lässt sich als \( \left(w_{1}(t), w_{2}(t)\right) \) schreiben. Zeigen Sie, dass es eine monoton fallende Folge \( \left(t_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( [0,1] \) mit \( w_{1}\left(t_{n}\right)=\frac{1}{\pi n} \) geben muss.
c) Berechnen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} w_{2}\left(t_{n}\right) \).
d) Zeigen Sie, dass \( M \) nicht wegzusammenhängend ist.
e) Gegeben seien zwei offene Mengen \( U, V \subseteq \mathbb{R}^{2} \) mit \( M \subseteq U \cup V \) und \( M \cap U, M \cap V \neq \emptyset \). Ohne Einschränkung sei \( (0,0) \in M \cap U \). Zeigen Sie, dass \( U \) sowohl Punkte von \( M_{0} \) als auch Punkte von \( M_{1} \) enthält.
f) Zeigen Sie, dass \( M_{0} \) und \( M_{1} \) zusammenhängend sind.
g) Da \( M \cap V \neq \emptyset \) ist, existiert ein \( i \in\{0,1\} \) mit \( M_{i} \cap V \neq \emptyset \). Zeigen Sie, dass \( M_{i} \cap U \cap V \neq \emptyset \)
h) Zeigen Sie, dass \( M \) zusammenhängend ist.
