Zeigen Sie, dass (a_{n})_{n ∈ ℕ} monoton fallend ist und konvergiert und dessen Grenzwert

Question

Ich weiß nicht genau wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll.

Wir nutzen dieses Mal das Heron-Verfahren zu Berechnung der dritten Wurzel. Sei dazu \( c>0 \) und die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) rekursiv definiert durch
\( a_{1}=\max \{1, c\}, \quad a_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2 a_{n}+\frac{c}{a_{n}^{2}}\right), \quad n \in \mathbb{N} \)
a) Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton fallend ist und konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie die hilfreiche Gleichheit
\( a_{n+1}-\sqrt[3]{c}=\frac{1}{3 a_{n}^{2}}\left(a_{n}-\sqrt[3]{c}\right)^{2}\left(\sqrt[3]{c}+2 a_{n}\right) \)
b) Bestimmen Sie den Grenzwert von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

Danke im voraus

Answer 1

Mit \(z^3=c\) lautet die Rekursion \(a_{n+1}=\dfrac{2a_n^3+z^3}{3a_n^2}\).
Stelle zunächst fest, dass alle Folgeglieder positiv sind.
Zeige als nächstes, dass die Folge nach unten durch \(z\) beschränkt ist:
Für alle \(n\ge1\) gilt$$\begin{aligned}a_{n+1}-z&=\frac{2a_n^3+z^3}{3a_n^2}-z\\&=\frac{2a_n^3+z^3-3a_n^2z}{3a_n^2}\\&=\frac{(a_n-z)^2\cdot(2a_n+z)}{3a_n^2}\ge0.\end{aligned}$$Nun zeige, dass die Folge monoton fällt:
Für alle \(n\ge2\) gilt$$a_n-a_{n+1}=a_n-\frac{2a_n^3+z^3}{3a_n^2}=\frac{a_n^3-z^3}{3a_n^2}\ge0.$$Für \(n\ge2\) ist die Folge also monoton fallend und nach unten beschränkt.
Lt. Aufgabenstellung bliebe noch zu zeigen, dass das schon für \(n\ge1\) gilt.
Damit ist die Folge bekanntlich konvergent. Für den Grenzwert \(a\) gilt:$$a=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^3+z^3}{3a_n^2}=\frac{2a^3+z^3}{3a^2}.$$Daraus folgt \(a^3=z^3\) und daraus \(a=z=\sqrt[3\,]c\).