Funktion Grenzwertberechnung unbestimmt?

Question

Aufgabe:

$$\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}sin(x)*x = \infty$$

Oder muss ich angeben, dass sin(1/x) mit einer Nullfolge (an) keinen Grenzwert besitzt : sin(1/an)=sin(n*pi+pi/2)=(-1)^(n+1) und die Funktion deshalb ebenso keinen Grenzwert besitzt?

Problem/Ansatz:

Ist das ein richtiger Ansatz um zu zeigen, dass die Funktion in x=0 keinen Grenzwert hat ?

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Hallo,

Deine Überlegungen am Anfang sind nicht ganz richtig: Wenn \(x \to 0\) kann x positiv oder negativ sein. Dementsprechend geht 1/x nicht einfach nur gegen \(+\infty\). Ebenso nimmt \(x \sin(x)\) positive und negative Werte an.

Am besten ist es Du arbeitest mit Deinem 2. Vorschlag: Für

$$x_n:=\frac{1}{n \pi+0.5 \pi}$$

gilt:
$$\frac{1}{x_n}\sin(\frac{1}{x_n})=(-1)^n(n \pi+0.5 \pi)$$

Die Werte sind also unbeschränkt und oszillieren; daher hat die Funktion keinen Grenzwert, auch keinen uneigentlichen.

Gruß Mathhilf