Problem bei einer stochastik aufgabe Stochastik Aufgabe vorgehen soll

Question

Aufgabe:

Ein Glücksrad hat drei Felder (1;2;3)

Man darf einmal drehen und erhält die angezeigte Zahl in € Ausbezahlt.

Der Einsatz soll 3€ betragen. Welche Zahl muss statt der 3 auf dem entsprechenden Feld stehen, sodass das Spiel fair ist also E(x)=0 ist

Problem/Ansatz:

Ich habe es so versucht:

Gewinn -2    -1   x

P          1/3 1/3 1/3

-2• 1/3 + -1 • 1/3 + x• 1/3 = 0

<=> -2/3 + (-1/3) + 1/3x = 3

Das ganze eben nach x auflösen am ende kam x = 1 raus

Wenn ich 1 statt x wieder in die Rechnung einsetze kommt nicht E(x)=0 sondern -2/3 raus.

War mein ansatz falsch das Lösungsbuch sagt man solle

E(x) = 1• 1/3 + 2• 1/3 + z•1/3 = 1+z/3

Rechnen was dann wo dann 6 rauskommt. Was es damit auf sich hat ist mir immernoch ein Rätsel.

Könnte mir einer sagen, wie man auf 6 kommt? Habe ich vielleicht die Aufgabe falsch verstanden?

Answer 1

-2• 1/3 + -1 • 1/3 + x• 1/3 = 0

Der Ansatz ist richtig.

Lösung der Gleichung ist x = 3.

wie man auf 6 kommt?

Die -2 und die -1 sind nicht die Zahlen, die auf dem Glücksrad stehen, sondern der Gewinn, dass heißt Auszahlung - Einzahlung.

Also steht auch das x in deiner Rechnung für den Gewinn. Gefragt ist aber nach der Auszahlung.

Um bei 3 € Einzahlung (laut Aufgabenstellung) einen Gewinn von 3 € (laut obiger Rechnung) zu machen, müssen 3 € + 3€ = 6 € ausgezahlt werde. Diese Zahl muss auf dem Glücksrad stehen.

Comments

Okay, aber ich verstehe nicht, wie kann bei der Rechnung 3 rauskommen? Am ende kommt bei mir 1/3x = 3 raus. Ich teile dann durch drei und bekomme 1.

Und wie kann das Spiel bei 6€ noch fair sein, wenn man nicht mit Auszahlung - Einzahlung rechnet?

---

wie kann bei der Rechnung 3 rauskommen?

\(\begin{aligned} -2\cdot\frac{1}{3}+\left(-1\right)\cdot\frac{1}{3}+x\cdot\frac{1}{3} & =0 &  & \text{Distributivgesetz}\\ \left(-2+\left(-1\right)+x\right)\cdot\frac{1}{3} & =0 &  & \text{Ausrechnen}\\ \left(-3+x\right)\cdot\frac{1}{3} & =0 &  & |\cdot3\\ \left(-3+x\right)\cdot\frac{1}{3}\cdot3 & =0\cdot3 &  & \text{Ausrechnen}\\ -3+x & =0 &  & |+3\\ -3+x+3 & =0+3 &  & \text{Ausrechnen}\\ x & =3 \end{aligned}\)

Und wie kann das Spiel bei 6€ noch fair sein, ...

Was meinst du mit "bei 6 €"?

wenn man nicht mit Auszahlung - Einzahlung rechnet?

Ob das Spiel fair ist hängt nicht davon ab, wie man rechnet, sondern nur davon wie das Spiel gestaltet ist.

---

Bei einer Auszahlung von höchstens 6€ würde es doch so aussehen oder?

1€   2€  6€

1/3 1/3 1/3

Wenn man nun den Erwartungswert ausrechnet ist er über 0, also ist das spiel nicht fair. müsste man dann nicht die anderen Auszahlungen ebenfalls verändern?

Die Aufgabenstellung setzt ja voraus, dass der Erwartungswert am Ende 0 ist

Womöglich weiß ich nicht so ganz, was von hier von mir gewollt ist

---

Wenn man nun den Erwartungswert ausrechnet ...

Wenn du \(1\cdot \frac{1}{3} + 2\cdot \frac{1}{3} + 6\cdot \frac{1}{3}\) rechnest, dann berechnest du nicht den Erwartungswert des Spiels, sondern den Erwartungswert der Auszahlung.

Der Erwartungswert der Auszahlung sagt nichts darüber aus, ob das Spiel fair ist oder nicht.

Der Erwartungswert des Spiels ist

        \(E(X) =(1-3)\cdot \frac{1}{3} + (2-3)\cdot \frac{1}{3} + (6-3)\cdot \frac{1}{3}\)

weil du von jeder Auszahlung noch die 3 € Einsatz abziehen musst um die jeweiligen Gewinne zu berechnen.

---

Achso okay danke

Answer 2

Der Erwartungswert muss 3€ (also den Einsatz) betragen, damit das Spiel fair ist.

1€*1/3+2€*1/3+x€*1/3=3€    |*3

1€+2€+x€=9€        |-3€

x€=6€

Wenn der Erwartungswert 0€ sein soll, muss der Einsatz jeweils abgezogen werden:

(1€-3€)*1/3+(2€-3€)*1/3+(x€-3€)*1/3=3€-3€

Mit 3 multiplizieren und Klammern ausrechnen:

-2€-1€+x€-3€=0€

x€=6€

:-)