Finden Sie eine reelle Matrix B derart, dass B^3 = A ist.

Question

Aufgabe:

Es sei

A = \( \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} \)

Finden Sie eine reelle Matrix B derart, dass B³ = A ist.

Comments

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Answer 1

Mit \(D=\begin{pmatrix}-8&0\\0&1\end{pmatrix}\) und \(S=\begin{pmatrix}-1&1\\1&2\end{pmatrix}\) gilt wie bereits gezeigt \(A=S\cdot D\cdot S^{-1}\).
Definiere nun \(H=\begin{pmatrix}-2&0\\0&1\end{pmatrix}\). Wie man leicht nachrechnet gilt \(D=H^3\) sowie
\(\left(S\cdot H\cdot S^{-1}\right)^3=(S\cdot H\cdot S^{-1})\cdot(S\cdot H\cdot S^{-1})\cdot(S\cdot H\cdot S^{-1})=S\cdot H^3\cdot S^{-1}=S\cdot D\cdot S^{-1}=A\).
Damit ist die gesuchte Matrix gefunden und es ist \(B=S\cdot H\cdot S^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\2&0\end{pmatrix}.\)