Ganzrationale Funktion mit Parametern: Nullstellen gesucht

Question

Aufgabe:

Ganzrationale Funktion mit Parametern:

Nullstellen gesucht

Problem/Ansatz:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit Parametern, wobei ein Element kein X besitzt.

Wie Ermittle ich nun die Nullstellen?

Parameter ist in diesem Fall t, die Funktion ist schemenhaft:

x^3 + x^2 - t^2

Answer 1

Mein CAS sagt dazu

\(\begin{aligned}x_1&=\left({{-1}\over{2}}-{{\sqrt{3}i}\over{2}}\right)\left({{t\sqrt{27t^2-4}}\over{23^{{{3}\over{2}}}}}+{{t^2}\over{2}}+{{-1}\over{27}}\right)^{{{1}\over{3}}}+{{{{\sqrt{3}i}\over{2}}+{{-1}\over{2}}}\over{9\left({{t\sqrt{27t^2-4}}\over{23^{{{3}\over{2}}}}}+{{t^2}\over{2}}+{{-1}\over{27}}\right)^{{{1}\over{3}}}}}+{{-1}\over{3}}\\ x_2&=\left({{\sqrt{3}i}\over{2}}+{{-1}\over{2}}\right)\left({{t\sqrt{27t^2-4}}\over{23^{{{3}\over{2}}}}}+{{t^2}\over{2}}+{{-1}\over{27}}\right)^{{{1}\over{3}}}+{{{{-1}\over{2}}-{{\sqrt{3}i}\over{2}}}\over{9\left({{t\sqrt{27t^2-4}}\over{23^{{{3}\over{2}}}}}+{{t^2}\over{2}}+{{-1}\over{27}}\right)^{{{1}\over{3}}}}}+{{-1}\over{3}}\\ x_3&=\left({{t\sqrt{27t^2-4}}\over{23^{{{3}\over{2}}}}}+{{t^2}\over{2}}+{{-1}\over{27}}\right)^{{{1}\over{3}}}+{{1}\over{9\left({{t\sqrt{27t^2-4}}\over{23^{{{3}\over{2}}}}}+{{t^2}\over{2}}+{{-1}\over{27}}\right)^{{{1}\over{3}}}}}+{{-1}\over{3}} \end{aligned}\)

Von Hand berechnet man die Nullstellen mit den cardanischen Formeln.