Beweis f ◦ f = 0 ⇔ Bild f ⊂ Kern f

Question

Aufgabe: ) Es sei V ein Vektorraum über R und es sei f : V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
f ◦ f = 0 ⇔ Bild f ⊂ Kern f

Problem/Ansatz:

Ich habe keine wie ich das lösen soll, bei allgemeinen beweisen tu ich mich immer schwer

Answer 1

"=>" Angenommen für alle \(x\in V\) gilt \(f(f(x))=0_V\).

Sei nun \(y\in \operatorname{Bild}(f)\). Dann existiert ein \(x\in V\) mit \(y=f(x)\).

Allerdings gilt nun \(f(y)=f(f(x))=0_V\) nach Voraussetzung, sodass \(y\in \operatorname{Kern}(f).\)

Entsprechend folgt \(\operatorname{Bild}(f)\subseteq \operatorname{Kern}(f).\)

"<=" Angenommen es gelte \(\operatorname{Bild}(f)\subseteq \operatorname{Kern}(f)\).

Dann gilt für jedes \(x\in V\), dass \(f(x)\in \operatorname{Bild}(f)\subseteq \operatorname{Kern}(f)\), also \(f(x)\in \operatorname{Kern}(f)\) ist, woraus sofort \(f(f(x))=0_V\) folgt.

Comments

Mit dem Befehl \operatorname kannst du längere Stringketten in LATEX begradigen, sodass die nicht mehr kursiv erscheinen.