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Stehe mal wieder vor einer Wand ; (

Es sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum und φ : V → V linear mit φ ◦ φ = 0 und φ ≠ 0, wobei ◦ die
Verkettung von Abbildungen ist. Zeigen Sie, dass gilt:


Kern(φ) = Bild(φ)

Gefragt von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass Kern(∅) = Bild (∅) gilt

Stichworte: kern,vektorraum,bild,abbildung,beweis

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen ?

Es sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum und  ∅ : V -> V linear mit ∅ °∅ = 0 und ∅ ≠ 0, wobei ° die Verkettung von Abbildungen ist.

Zeigen Sie, dass  Kern(∅) = Bild (∅) gilt


Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Ich bedanke mich

EDIT: Umgeleitet, da  ∅ wohl zu stark an die leere Menge erinnert hat. 

Hast du einen Ansatz? Kennst du die Definitionen? Die Beziehung \( \text{Kern}(\varphi) \subseteq \text{Bild}(\varphi) \) kannst du leicht zeigen. Sei dazu \( v \in \text{Bild}(\varphi) \). Dann existiert ein \( w \in V \) mit \( \varphi(w) = v \) und daraus folgt, ... 

...da v ∈ ker(φ) ist φ(v) = 0 ?

So richtig weiß ich nicht was ich tun soll...

Wie kann denn φ ≠ 0 und φ°φ = 0 sein?

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Wegen φ≠0 gibt es ein v∈V mit φ(v) ≠ 0

==>   dim(Kern(φ)) >0

Und es ist Bild(φ) ≠ {0}, also dim(Bild(φ)) > 0

Andererseits gilt die Dim-Formel

dim(Kern(φ)) + dim(Bild(φ)) = dim(V)  = 2

Wenn die Summe zweier positiver ganzer Zahlen gleich 2 ist,

kann nur jede = 1 sein. Also haben beide die gleiche Dimension 1.

Außerdem gilt wegen φ(φ(v)) = 0   für alle v∈V auch

                φ(v) ∈ Kern(φ) und damit Bild(φ) ⊆ Kern(φ) .

Und da beide die gleiche Dim haben, sind sie also gleich.

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