Givens Rotation berechnen

Question

Hallo,

kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen?

Aufgabe: Illustrieren Sie das Givens-Rotations-Verfahren anhand eines nicht-trivialen Beispiel mit m>n≥2.

Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand hier ein Beispiel rechnen könnte. Ich habe online keine Passende Rechnung gefunden...

Liebe Grüße

Maik

Answer 1

Na, dann verweis ich mal auf ein Beispiel

https://www.geogebra.org/m/f2t62ad9

Um den Eintrag an der Matrixposition a_ik zu Null zu transformieren setzte

(a_ik=0) i=2, k =1, m=4 ( Zeilen Dim Matrix)
Rotation-Matrix G=(g_ik) hat Einträge (g_ii g_kk g_ik g_ki) nach folg. Muster

$\small G(i, k, m)\, := \, \left(\begin{array}{rrrr}\frac{akk}{\sqrt{aik^{2} + akk^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&\frac{aik}{\sqrt{aik^{2} + akk^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&0&0\\\frac{-aik}{\sqrt{aik^{2} + akk^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&\frac{akk}{\sqrt{aik^{2} + akk^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)$

Comments

ich verstehe das nicht!

ich würde mich freuen wenn das alles schritt für schritt hier  illustriert wird.

Wo ist den der Matrix; m>n≥2   ?

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siehe unter dem angegebenen Link nach....

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hallo,

es wäre sinnvoll wenn diese Aufgabe hier berechnet wird..

auf der Seite ist leider nicht alles so Verständlich....?????

ich würde mich auch sehr freuen wenn man hier ein Beispiel vorrechnet..

Gruß

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Dann kannst Du gerne konkrete Fragen stellen!

Es ist übrigens keine konkrete Aufgabe gestellt worden und die Grundlagen sind auf der Link-Seite an einem Beispiel vorgerechnet (und ausführlicher im verlinkten Wikipedia).

In meiner Antwort oben ist die Konstruktion der Koeffizienten einer Rotationsmatrix angegeben und auch wo sie in einem speziellen Fall hingehören - was brauchst Du noch?

Es gibt hier im Forum überigens weitere Beispiele zum Thema, was ist damit?

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ich würde mich auch sehr freuen wenn man hier ein Beispiel vorrechnet.

Hier findest Du eine Beispielrechnung.

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$\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \\ 3 & 1&0 \\ 0 & 5&2 \end{pmatrix}$

das ist jetzt ein beispiel-Matrix zu m>n>-2

Wie rechnen wir das jetzt?

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Hallo,

Das ist eber kein m>n≥2 Matrix.

Bei dir ist m<n, also musst du unten 2 Zeilen löschen.. dann hast du m>n≥2 Matrix.

m ist die Spalte

n ist die Zeile

m verläuft nach nach unten und n nach rechts

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$\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \end{pmatrix}$

so sollte das richtig sein...

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hallo danke sehr,

und wie rechne ich das jetzt? Ich kann das GeoGebra Programm nicht bedienen...!

Gruß

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und wie rechne ich das jetzt?

na ja - es wäre hilfreich für uns und damit auch für Dich, wenn Du uns schreibst, was Du bei diesem Beispiel nicht verstehst. (ich hatte das weiter oben schon verlinkt!)

Im konkreten Fall von $$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \end{pmatrix}$$ist $$G_{1,2} = \frac1{\sqrt{4^2+3^2}} \begin{pmatrix}4& 3\\ -3& 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0.8& 0.6\\ -0.6& 0.8\end{pmatrix}$$und weiter ist $$G_{1,2} \cdot A = \begin{pmatrix}5& 3.6& 2.2\\ 0.0& -0.2& -0.4\end{pmatrix}$$

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danke für den Ansatz, können Sie das bitte bis zu Ende berechnen. Ich verstehe das hier nicht: https://www.mathelounge.de/489911

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Ich verstehe das hier nicht: https://www.mathelounge.de/489911

Das was Du als 'das hier' bezeichnest, läuft über ca. 2 Seiten oder mehr. Hast Du den ersten Absatz meiner Antwort verstanden?

Hast Du das Grundprinzip von 'Givens-Rotation' verstanden?

können Sie das bitte bis zu Ende berechnen.

... das ist das Ende. bei einer 2x3Matrix geht es nicht weiter ;-)

Aufgabe: Illustrieren Sie das Givens-Rotations-Verfahren anhand eines nicht-trivialen Beispiel mit m>n≥2.

die Matrix sollte also mindestens 3x2 oder größer sein ...

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das obere Beispiel ist 3x2 ( Spalte x Zeile) Matrix

auf der Seite wird erklärt wie man so eine Aufgabe berechnet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Givens-Rotation

Ganz unten bei Algorithmus wurde dargestellt wie man so eine Aufgabe löst

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das obere Beispiel ist 3x2 ( Spalte x Zeile) Matrix

ich unterstelle Du meinst diese Matrix:$$A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \end{pmatrix}$$das ist eine 2x3-Matrix.

auf der Seite wird erklärt wie man so eine Aufgabe berechnet:
https://de.wikipedia.org/wiki/Givens-Rotation
Ganz unten bei Algorithmus wurde dargestellt wie man so eine Aufgabe löst

so ist das. Und was ist nun Deine Frage?

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Ich möchte nur ein Beispiel für m>n≥2 haben. Ich sehe hier, dass wir noch keine richtige Matrix dafür haben, denke ich.

Erste frage: ist die Matrix oben das mit 3 Spalten und 2 Zeilen richtig:

also die Matrix:

$A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \end{pmatrix}$

passt sie zu diese Bedingung: m>n≥2. ?

Und ist das wirklich so Endergebnis?

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \end{pmatrix}$$ist $$G_{1,2} = \frac1{\sqrt{4^2+3^2}} \begin{pmatrix}4& 3\\ -3& 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0.8& 0.6\\ -0.6& 0.8\end{pmatrix}$$und weiter ist $$G_{1,2} \cdot A = \begin{pmatrix}5& 3.6& 2.2\\ 0.0& -0.2& -0.4\end{pmatrix}$$

Die Seite erklärt irgendwie bisschen mehr : https://de.wikipedia.org/wiki/Givens-Rotation

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Erste frage: ist die Matrix oben das mit 3 Spalten und 2 Zeilen richtig:also die Matrix:$A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \end{pmatrix}$passt sie zu diese Bedingung: m>n≥2. ?

Nein - üblich ist es, die Größe einer Matrix mit mxn-Matrix (m Zeilen und n Spalten) anzugeben. Matrix $A$ hat 2 Zeilen und 3 Spalten und ist folglich eine 2x3-Matrix. Ich hatte dieses Bild aus der Wikipedia verlinkt, um dies zu erläutern.

Und ist das wirklich so Endergebnis? ...

$$G_{1,2} \cdot A = \begin{pmatrix}0.8& 0.6\\ -0.6& 0.8\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \end{pmatrix}\\\quad =\begin{pmatrix}5& 3.6& 2.2\\ 0.0& -0.2& -0.4\end{pmatrix}$$Im Prinzip schon. Die QR-Zerlegung ist dann nur noch eine Formalie:$$Q = G_{1,2}^T, \quad R = G_{1,2}\cdot A$$mit $A = Q \cdot R$.

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schreiben Sie bitte eine Matrix, die diese Bedingung erfüllt: m>n≥2?

kann bitte jemand einfach mal eine Matrix aufstellen, die diese Bedingung erfüllen kann: m>n≥2?

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schreiben Sie bitte eine Matrix, die diese Bedingung erfüllt: m>n≥2?

$B$ ist eine 4x3-Matrix. $$B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \\ 3 & 1&0 \\ 0 & 5&2 \end{pmatrix}$$$4 \gt 3$ und $3 \ge 2$ erfüllt die Bedingung $m\gt n\ge2$.

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ich beziehe mich jetzt auf das Kommentar von Werner-Salomon.

obere Matrix : $\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \\ 3 & 1&0 \\ 0 & 5&2 \end{pmatrix}$

könnten wir dann so aufschreiben oder?:

$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \\3 & 1 \end{pmatrix}$

würde somit die Matrix dann diese Bedingung erfüllen: m>n≥2

Und dafür die Givens Rotation Berechnen ne!

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Hallo Maike,

ich habe irgendwie Schwierigkeiten mit der deutschen Sprache. Ich werde aus Deinen Kommentaren nicht schlau.

Das was Du als 'obere Matrix' bezeichnest ...

obere Matrix : $\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2&1 \\ 3 & 1&0 \\ 0 & 5&2 \end{pmatrix}$

... kann man natürlich NICHT so aufschreiben

$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \\3 & 1 \end{pmatrix}$

weil beide Matrizen sind ja bereits unterschiedlich groß!

würde somit die Matrix dann diese Bedingung erfüllen: m>n≥2

Die Matrix $$C = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \\3 & 1 \end{pmatrix}$$ist eine 3x2-Matrix und erfüllt die Bedingung $m \gt n \ge 2$

Und dafür die Givens Rotation Berechnen ne!

Ja - das kannst Du für jede Matrix machen, also auch für $C$.
Bevor Du den nächsten Kommentar abschickst, lese ihn bitte vorher nochmal durch und überlege Dir, was ein potentieller Leser sich wohl dabei denkt ;-)
Und stelle möglichst konkrete Fragen in vollständigen Sätzen.