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f : R2Rf(x1,x2)={x1x2x12+x22 falls (x1,x2)=(0,0)0 sont  f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & \text { falls }\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \\ 0 & \text { sont }\end{array}\right.

Zeigen Sie, dass die Funktion in (0,0) nicht stetig ist.

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Falls die Funktion wirklich so definiert ist, wie es da steht, dann ist sie im Nullpunkt einfach gar nicht definiert, weil dann  f(0,0) = (0·0) / (02 + 02) = 0 / 0  einfach gar nicht definiert wäre.

Ich vermute aber einen (ziemlich katastrophalen) Schreibfehler in der Aufgabenstellung.

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Es ist f(1n,1n)=12f\big(\frac1n,\frac1n\big)=\frac12 für alle nNn\in\mathbb N. Wegen limn1n=0\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n=0  und  f(0,0)=0f(0,0)=0 ist ff in (0,0)(0,0)  also nicht stetig.

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Warum hast du genau 1/n gewählt?

Weil das die wohl einfachste Nullfolge ist, mit der die Aussage gezeigt werden kann.
Es klappt aber auch mit 1n2\frac1{n^2}  oder 2n\frac2n  oder auch mit unterschiedlichen Nullfolgen für xx und yy.

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