f : R2→Rf(x1,x2)={x1⋅x2x12+x22 falls (x1,x2)=(0,0)0 sont f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & \text { falls }\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \\ 0 & \text { sont }\end{array}\right. f : R2→Rf(x1,x2)={x12+x22x1⋅x20 falls (x1,x2)=(0,0) sont
Zeigen Sie, dass die Funktion in (0,0) nicht stetig ist.
Falls die Funktion wirklich so definiert ist, wie es da steht, dann ist sie im Nullpunkt einfach gar nicht definiert, weil dann f(0,0) = (0·0) / (02 + 02) = 0 / 0 einfach gar nicht definiert wäre.
Ich vermute aber einen (ziemlich katastrophalen) Schreibfehler in der Aufgabenstellung.
Es ist f(1n,1n)=12f\big(\frac1n,\frac1n\big)=\frac12f(n1,n1)=21 für alle n∈Nn\in\mathbb Nn∈N. Wegen limn→∞1n=0\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n=0n→∞limn1=0 und f(0,0)=0f(0,0)=0f(0,0)=0 ist fff in (0,0)(0,0)(0,0) also nicht stetig.
Warum hast du genau 1/n gewählt?
Weil das die wohl einfachste Nullfolge ist, mit der die Aussage gezeigt werden kann.Es klappt aber auch mit 1n2\frac1{n^2}n21 oder 2n\frac2nn2 oder auch mit unterschiedlichen Nullfolgen für xxx und yyy.
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