0 Daumen
213 Aufrufe

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \quad f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} & \text { falls }\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \\ 0 & \text { sont }\end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass die Funktion in (0,0) nicht stetig ist.

Avatar von

Falls die Funktion wirklich so definiert ist, wie es da steht, dann ist sie im Nullpunkt einfach gar nicht definiert, weil dann  f(0,0) = (0·0) / (02 + 02) = 0 / 0  einfach gar nicht definiert wäre.

Ich vermute aber einen (ziemlich katastrophalen) Schreibfehler in der Aufgabenstellung.

1 Antwort

0 Daumen

Es ist \(f\big(\frac1n,\frac1n\big)=\frac12\) für alle \(n\in\mathbb N\). Wegen \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n=0\)  und  \(f(0,0)=0\) ist \(f\) in \((0,0)\)  also nicht stetig.

Avatar von 3,5 k

Warum hast du genau 1/n gewählt?

Weil das die wohl einfachste Nullfolge ist, mit der die Aussage gezeigt werden kann.
Es klappt aber auch mit \(\frac1{n^2}\)  oder \(\frac2n\)  oder auch mit unterschiedlichen Nullfolgen für \(x\) und \(y\).

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community