Ist diese Funktion stetig? f: R^2\{(0,0)} → R, f(x, y)=(x^2*sin y)/(x^4+y^2) stetig und warum (nicht)?

Question

Ist

f: R^2\{(0,0)} → R,

f(x, y)=(x^2*sin y)/(x^4+y^2)

stetig und warum (nicht)?

Ich vermute, dass sie stetig ist, weil die "kritische" Stelle 0 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist.

Wie beweise ich das jetzt bzw. welche "Fälle" muss ich betrachten?

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Mir ist gerade noch etwas eingefallen: Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass die Zusammensetzung stetiger Funktionen wieder stetig ist. Kann ich das hier nutzen?

Answer 1

Hattet ihr auch den Satz, dass Quotienten stetiger Funktionen wieder stetig sind, falls der Nenner ungleich 0 ist? Damit wärst du hier nämlich sofort fertig.

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Habe gerade nachgeschaut, den Satz hatten wir auch!

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Jetzt soll ich im 2. Teil der Aufgabe schauen, ob f stetig fortsetzbar ist und als Tipp dazu f(x,0) und f(x, x^2) betrachten.Das habe ich nun gemacht:f(x, 0)=0 und f(x, x^2)=(x^2*sin x^2)/2x^4Aber so richtig was anfangen kann ich damit nicht. Kannst du mir da weiterhelfen?

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Erstmal kannst du noch kürzen.
Und dann berechnest du \(\lim\limits_{x\to 0} f(x,0)\) und \(\lim\limits_{x\to 0} f(x,x^2)\). Vielleicht siehst du dann, was du damit anfangen kannst?

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Stimmt, mit kürzen ist f(x, x^2)=sin x^2/2x^2.Wenn ich jetzt für beide x gegen 0 laufen lasse, kommt für beide 0 raus (oder funktioniert das bei dem 2. nicht, weil der Nenner nicht 0 werden darf?).Heißt das dann direkt, dass man f stetig fortsetzen kann, weil beides mal 0 rauskommt? Bei der Def. bin ich mir unsicher, finde sie im Skript nicht.

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\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{2x^2}\) ist nicht 0.
Ist der Grenzwert \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) bekannt?

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Ich hätte auch da 0 behauptet, aber das ist dann wahrscheinlich falsch?

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Ja, das ist falsch.
Tipp: L'Hospital.

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Okay habe nochmal nachgeschlagen, es ist 1, richtig?

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Ja.                   

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Okay, dh. für sin x^2/2x^2 ist es dann 1/2. Was sagt das über stetig fortsetzbar aus?

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\(\lim\limits_{x\to 0} f(x,0)\) und \(\lim\limits_{x\to 0} f(x,x^2)\) sind zwei Grenzwerte bei Annäherung an \((0,0)\), aber auf unzerschiedlichen "Wegen". Beim ersten Grenzwert nähert man sich dem Ursprung entlang des Weges \((x,0)\), d.h. auf der x-Achse. Beim zweiten Grenzwert nähert man sich dem Ursprung auf dem Weg \((x,x^2)\).
Wäre \(f\) stetig forsetzbar, müssten aber beide Grenzwerte übereinstimmen; egal aus welcher Richtung man sich an den Ursprung nähert, müsste immer der gleiche Grenzwert rauskommen.

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Ah okay, ich verstehe.

VIELEN DANK!!!