Warum ist f:ℝ→ℝ f(x)= 1 für x∈ℚ und 0 für x∉ℚ nicht stetig?

Question

Hallöle,

ich wiederhole gerade Stetigkeit und verstehe das leider überhaupt nicht. Stetig heißt doch, dass die Funktion keine Sprünge hat!?

Ich verstehe überhaupt nicht, warum

f:ℝ→ℝ

f(x)= 1 für x∈ℚ und 0 für x∉ℚ

nicht stetig ist?

Wir hatten das kurz als Beispiel in der Vorlesung, aber ich kann das absolut nicht nachvollziehn.

Kann mir das bitte einer leicht erklären, vielleicht ohne viele komplizierte Formeln wenn möglich?

=)

Comments

Zwischen zwei Rationalen Zahlen gibt es unendlich viele irrationale Zahlen.

Daher springt diese Funktion ständig zwischen 0 und 1 hin und her.

Answer 1

Zwischen zwei Rationalen Zahlen gibt es unendlich viele irrationale Zahlen.

Daher springt diese Funktion ständig zwischen 0 und 1 hin und her.

Hat Mathecoach schon geantwortet.

Zudem liegt zwischen 2 verschiedenen irrationalen Zahlen immer eine rationale Zahl, denn die beiden Zahlen unterscheiden sich in mindestens einer Stelle.

Begründung: Sei a die kleinere und b die grössere der beiden Zahlen. Nun nimmt man a bis zur ersten Stelle, an der sie sich von b unterscheidet. Als Nächstes addiert man 1 zu dieser Stelle und lässt benutzt keine weiteren Nachkommastellen mehr. Nun hat man eine rationale Zahl, die zwischen a und b liegt.