Vektor Geometrie Kreis Trigonometrie

Question

Aufgabe:

Gegeben ist in einem zweidimensionalen Koordinatensystem das Dreieck ABC durch A(5/10), B(-7/1) und C(3/-4).
a) Bestimmen Sie die Grösse des Winkels ABC.
b) Wie lang ist die Höhe h_c auf die Seite AB ?
c) Die Höhe h_c schneidet die Seite AB im Punkt D.
Beweisen Sie: Der Koordinatenursprung 0 ist Mittelpunkt der Strecke CD.
d) In welchen Punkten schneidet der Kreis mit Mittelpunkt 0, der sowohl durch C wie D geht, die beiden Koordinatenachsen sowie die Seite AC des Dreiecks ?

Problem/Ansatz:

Vektor - Geometrie - Kreis

Answer 1

Hallo

a) Vektor BA und BC skalrmulitplizieren, und die Def des Skalarproduktes verwenden.,

b) senkrechte auf BA bestimmen (Slalarprodukt =0, Gerade durch C mit der Steigung mit AB schneiden gibt D, und damit mit |CD|=hc

c) ist  dann wohl klar und leicht.

Kreis mit Radius OC=r  darin x=0  dann y=0 gibt die Schnittpunkte

Gruß lul

Comments

Liebe Lul
Schönen Dank für Ihre Antwort. Leider ist Ihre Antwort und nicht hilfreich.

Mit „a“, „b“ und „d“ übrigens habe ich kein Problem.

Mein Problem ist aber eigentlich nur: Aufg. „c“.

Besten Dank für Ihre ausführliche Antwort demnächst.

Answer 2

Hallo Lukan,

Mein Problem ist aber eigentlich nur: Aufg. „c“.

Eine Zeichnung ist bei solchen Aufgaben geradezu Pflicht. Zumal man auch sehr schön seine (rechnerischen) Ergebnisse überprüfen kann

Der Höhenfußpunkt \(D\) ist die Projektion des Punktes \(C\) auf die Gerade durch \(BA\). D.h. der Abstand \(|BD|\) dieses Punktes vom Punkt \(B\) ist $$|BD| = \vec{BC} \cdot \frac{\vec{BA}}{|BA|}$$Dann schreibe man die Gerade \(c\) durch \(BA\) in Parameterform ausgehend von \(B\) und normiere den Richtungsvektor \(\vec{BA}\)$$c: \quad \vec x = B + \lambda \cdot \frac{\vec{BA}}{|BA|}, \quad D = \vec x(\lambda = |BD|)$$Alles einsetzen und ausrechnen gibt dann$$\begin{aligned} D &= B + \frac{\vec{BC} \cdot \vec{BA}}{|BA|^2}\vec{BA} \\&= \begin{pmatrix} -7\\1 \end{pmatrix} + \frac{10\cdot 12+ (-5)\cdot 9}{12^2+9^2}\begin{pmatrix} 12\\9 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} -7\\1 \end{pmatrix} + \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 12\\9 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix} = -C \end{aligned}$$Falls das mit der 'Projektion' (s.o.) nicht bekannt sein sollte, kann man sich dem Problem auch anders annehmen. \(\vec{DC}\) und \(\vec{BA}\) stehen senkrecht zu einander. Folglich ist ihr Skalarprodukt \(=0\).$$\vec{DC} \cdot \vec{BA} = 0$$\(D\) ist irgendein Punkt auf der Geraden \(c\) durch \(BA\); also$$D = B + t \cdot \vec{BA}$$mit noch unbekannten \(t\). Und der Vektor \(\vec{DC}\) ist schlicht$$\vec{DC} = C -D$$führe die drei Gleichungen zusammen und Du erhältst \(t = 1/3\). Und falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.

Gruß Werner