Beweisen Sie, dass die Zahl (p+1)p-1 durch p2 teilbar ist.

Question

Es sei $p \in \mathbb{P}$. Beweisen Sie, dass die Zahl $(p+1)^{p}-1$ durch $p^{2}$ teilbar ist.

Answer 1

Hallo Wolfi,

"einfach" ausmultiplizieren macht es deutlich (s. binomischer Lehrsatz)$$\begin{aligned} (p+1)^p - 1 &= \sum\limits_{k=0}^p{p\choose k}p^{p-k} \space -1 \\ &= p^p + p \cdot p^{p-1} + {p\choose 2} p^{p-2} + \dots + {p\choose n-2}p^{2} + p \cdot p + 1 - 1 \end{aligned}$$Die $1$ am Ende verschwindet und in jedem Summanden ist der Faktor $p^2$ enthalten - wegen $${p \choose 1} = {p \choose p-1} = p$$ Folglich ist der Ausdruck durch $p^2$ teilbar.

Gruß Werner

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vielen dank.