Jede naturliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist

Question

Die Aufgabe lautet:

Formalisieren Sie die folgenden umgangssprachlichen Aussagen unter Verwendung von Variablen x, y, . . ., Aussageformen und Quantoren: 

Habe als Antwort  x % 1 ^ x % x. Jedoch würde das für alle Zahlen stimmen. Was kann man ändern das es stimmt ? % soll für Modulo stehen falls das unklar ist !

Answer 1

Du sollst Aussageformen und Quantoren benutzen.

Grüße,

M.B.

Comments

Ich bin mir nicht ganz sicher was mit Aussageformen gemeint ist. Also hier nochmal was ich habe { ∃x ∈  P |   x % 1 ^ x % x }   ^ soll für und stehen. Wäre { ∃x ∈  P |   x % 1 ^ 2x -1 % x } richtig ? Wenn ja warum und wenn nicht was ist die Lösung und was an diese Aussage falsch ?

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eine Aussageform ist eine Aussage, die noch eine Variable besitzt, also in etwa wie eine Funktion, nur viel allgemeiner, z.B.

"München ist eine Stadt" ist eine Aussage, d.h. ein Ausdruck, der mit richtig oder falsch bewertet werden kann.

"x ist eine Stadt" ist eine Aussageform, d.h. ein Ausdruck, der mit richtig oder falsch bewertet werden kann, wenn man für x etwas einsetzt.

Du sollst keine Primzahl berechnen, sondern eine Aussageform finden.

Grüße,

M.B.

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Könntest du mir das Erklären ? Im Unterricht habe ich in Erinnerung das wir es so gemacht haben wie ich das Beschrieben habe, die Lösung finde ich leider nicht mehr deswegen schreibe ich hier in das Forum. Die Erklärung von der Aussageform ist verständlich steht die Aussageform nicht schon dann in der Beschreibung mit 

"Jede naturliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist " ? 

Wenn x eine natürliche Zahl ist und sie durch 1 und sich selbst teilbar ist , ist sie eine Primzahl. Das wollte ich mit  { ∃x ∈  P |   x % 1 ^ 2x -1 % x } bzw. mit  { ∃x ∈  P |   x % 1 ^ x % x } darstellen. Ich will auch nichts berechnen sondern diese Aussage mit den Mitteln(Existenz u. Allquantoren) wo wir im Unterricht kennengelernt haben darstellen. 

Wenn du mir da helfen könntest wäre das Super ! Schaue morgen nochmal in das Forum.

Liebe Grüße

Salvatore

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Du sollst nicht rechnen. Ein (kleiner) Teil Deiner Aussageform wäre z.B.

\( 1 \mid n \Rightarrow n {\rm ~ist~Primzahl} \)

Grüße,

M.B.

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Jetzt bin ich noch mehr Verwirrt, ich hab das selbst mit einem Nachhilfe Lehrer vor einiger Zeit besprochen und wir haben das so gerechnet wie oben von mir gezeigt. Ich kenne auch keine andere Form aus dem Unterricht. Wie sollte den das ganze Aussehen ???

Liebe Grüße,

Salvatore

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Deine ganze Aussage lautet: "Jede natürliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist."

Bisher steht nur die Teilbarkeit durch 1 da. Ergänze den Rest.

Grüße,

M.B.

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1 ∣ n ⇒ n ist Primzahl ist das Zeichen | hier eine Division ? Sofern ich das ganze Ansatzweise verstehe wäre der Rest dann

n | n ⇒ ist Primzahl ?? 

Liebe Grüße

Salvatore

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\( a \mid b \) steht für "a ist Teiler von b".

\( a \nmid b \) steht für "a ist nicht Teiler von b".

Der Rest wäre es noch nicht, es fehlt noch etwas.

Grüße,

M.B.

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Okay also um mal die Quantoren rein zupacken  { ∃n ∈  P : 1 ∣ n ⇒ n ist Primzahl und (^) n | n ⇒ ist Primzahl } Falls der Teil n | n ⇒ ist Primzahl  falsch ist warum ? Also ich habe mir überlegt wenn ich für n 6 oder 8 einsetzte würde das für hier auch Funktionieren dann wäre es aber keine Primzahl. Das war auch die "eigentliche" Frage wie man auf eine "Aussageform" oder "Bedingung" kommt die die Aufgabenstellung  beschreibt.

Jede naturliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist

Liebe GrüßeSalvatore

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Du hast einige formale Fehler:

\( \exists \) steht für "es gibt (mindestens) ein ...". Das ist hier falsch.

Was ist \(n \in P \)? Was ist \( P \)?

Die Folgerung sollte ganz am Ende stehen, d.h. sinnvoll \( \dots 1 \mid n \land n \mid n \Rightarrow n {\rm ~ist ~Primzahl} \).

Das stimmt aber immer noch nicht ganz, weil Du so jede Zahl zu einer Primzahl erklärst.

Grüße,

M.B.

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Oh dann der Allquantor.  

∀n ∈ Z : 1∣ n ∧ n ∣ 2n + 1 ⇒ n ist Primzahl. Habe gedacht ich kann P als Definitionsbereich oder

wie man das auch immer nennt angeben.

Liebe Grüße

Salvatore

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kann es sein, dass Du hier alles verkomplizieren willst? Und Lesen solltest Du auch können.

Deine ganze Aussage lautet immer noch: "Jede natürliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist."

Das erste Wort davon ist "Jede".

Die nächsten zwei Worte sind "natürliche Zahl".

Das führt auf jeden Fall zu \( \forall~ n \in \Bbb N \).

Wie kommst Du auf \(P\) oder jetzt auf \( \Bbb Z \) ??

Dann steht da "... genau dann ..., wenn ..." und nicht "wenn ... dann". Das führt zu \( \Leftrightarrow \) anstatt zu \( \Rightarrow \), also

\( \forall~ n \in \Bbb N : \dots \Leftrightarrow \dots \)

Dann steht da "durch 1 und sich selbst teilbar", also

\( \forall~ n \in \Bbb N : ( 1 \mid n \land n \mid n) \Leftrightarrow \dots \)

Wie kommst Du jetzt schon wieder auf \( n \mid 2n+1 \) ??

Dann steht da allerdings das Wort "nur", das führt auf eine weitere Bedingung:

\( \forall~ n \in \Bbb N : ( 1 \mid n \land n \mid n \land \dots) \Leftrightarrow \dots \)

Und dann steht da noch "ist ... Primzahl", also

\( \forall~ n \in \Bbb N : ( 1 \mid n \land n \mid n \land \dots) \Leftrightarrow n {\rm ~ist ~Primzahl} \)

Den rechten Teil kannst auch noch formalisieren, wenn es unbedingt sein muss:

\( \forall~ n \in \Bbb N : ( 1 \mid n \land n \mid n \land \dots) \Leftrightarrow P(n) \)

Grüße,

M.B.

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Ah da habe ich mich vertan mit Z und N. 

∀n ∈ N : (1 ∣ n ∧ n ∣ n ∧ …) ⇔ P (n). Bedeuten die Punkte jetzt noch etwas ? Wie gesagt das ganze hat mich mehr Verwirrt bis jetzt.

Jedoch hilft es auch das sind genau die kleinen Details mit denen ich Probleme habe in Mathe wie z.B das ⇔ was hier jetzt aus dem Text raus gelesen wurde.

 So was übersehe ich gerne weil mir die Übung fehlt und ich kann das auch nicht wirklich gut bearbeiten ohne Feedback..... oder jemand der mich auf so etwas Hinweist. 

Wenn jedoch mein n jetzt z.B 4 wäre ist es doch immer noch keine Primzahl das Frage ich jetzt auch schon einige male wie man darauf kommt bzw. auf eine Bedingung oder

Aussage die das beschreibt. Alleine habe ich es bis jetzt noch nicht geschafft ....

Gruß

Salvatore

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es fehlt die Bedingungen für "nur" (steht oben).

Eine Möglichkeit wäre zu sagen: 1 muss Teiler sein, n muss Teiler sein, alle anderen dürfen es nicht.

Das "alle anderen nicht" muss jetzt noch formuliert werden.

Grüße,

M.B.

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Sorry ich komm echt nicht drauf. Ich weiß nicht wie ich das "alle anderen nicht" formulieren soll geschweige denn ob ∀n ∈ N : (1 ∣ n ∧ n ∣ n ∧ …) ⇔ P (n) überhaupt richtig ist oder was fehlt. Ist es möglich die Lösung in einzelnen Schritten zu erklären dann ist es für mich Nachvollziehbarer ich komme wirklich nicht alleine drauf. Sorry das tut mir auch wirklich leid.  

Gruß

Salvatore

Answer 2

p∈ℕ ist prim ⇔mod(p,q)≠0 ∀q mit q∈ℕ ∧ 1<q<p. Das Wort "mit" sollte vielleicht noch formalisiert werden.