Zeigen Sie, dass dann p^4 − 1 ohne Rest durch 240 teilbar ist in Z.

Question

Aufgabe:

Sei p ∈ N eine Primzahl, p ≥ 7. Zeigen Sie, dass dann p⁴ − 1 ohne Rest durch 240 teilbar ist in Z.

Ansatz:

(p⁴-1) = (p² + 1)*(p+1)*(p-1) und 240 = 3*5*2⁴

Die Teilbarkeit für 3 und 5 hab ich schon, stell mich aber bei 2⁴ ein bisschen dümmlich an. Ich hab versucht damit zu argumentieren, dass alle Faktoren gerade sind, da p eine Primzahl und ≥ 7 ist. Ich weiß aber, dass das nicht ausreicht und wahrscheinlich auch ein falscher Ansatz ist.

Könnte mir bitte jemand helfen? :D

Answer 1

(p² + 1) ist sicherlich gerade .

 p+1  und p-1  sind gerade Zahlen, die sich um 2 unterscheiden,

also eine davon durch 4 teilbar.

Comments

Reicht das schon als Beweis zu? Muss ich nicht noch irgendwie mit 2⁴ argumentieren?

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Du hast 2 Faktoren, die durch 2 teilbar sind (Also je einen

Primfaktor 2 enthalten.) und einen, der durch 4 teilbar ist,

also 2 mal den PF 2 enthält. Damit sind im Ergebnis 4 Stück.

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Ja.. Ist schlüssig... Danke für die Hilfe!