Aloha :)
L'Hospital ist hier schwierig, weil \(\sqrt x\) für \(x=0\) nicht differenzierbar ist (es existiert kein links-seitiger Grenzwert des Differenzenquotienten). Du kommst damit aber vermutlich trotzdem zum richtigen Ergebnis.
Ich empfehle folgende Überlegung für \(y\ge0\):$$\sin(y)=\int\limits_0^y\cos(t)\,dt\le\int\limits_0^y1\,dt=y\le\int\limits_0^y\frac{1}{\cos^2(t)}\,dt=\tan(y)$$Um nicht durch Null zu dividieren und zur Sicherstellung, dass wir nur mit positiven Werten rechnen, betrachten wir das für \(y\in\left(0;\frac\pi2\right)\):$$\sin(y)\le y\le\tan(y)\implies1\le\frac{y}{\sin(y)}\le\frac{1}{\cos(y)}\implies1\ge\frac{\sin(y)}{y}\ge\cos(y)$$Mit \(y=\sqrt x\) und \(x\to 0\) ist dann:
$$1\ge\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}\ge\lim\limits_{x\to0}\cos\left(\sqrt x\right)=1\quad\implies\quad\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}=1$$
Ich habe gerade gesehen, dass der Grenzwert für \(x\to\infty\) gesucht ist, nicht für \(x\to 0\). Das ist aber ein 1-Zeiler:$$-1\le\sin(\sqrt x)\le1\implies-\frac{1}{\sqrt x}\le\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}\le\frac{1}{\sqrt x}\implies\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}=0$$
