Aloha :)
Wir betrachten die geometrische Reihe allgemein:$$S_N\;:\!=\sum\limits_{n=0}^N q^n\quad;\quad q\ne1$$multiplizieren \(S_N\) mit \(q\) und subtrahieren das Ergebnis von \(S_N\):$$S_N-q\cdot S_N=\sum\limits_{n=0}^N q^n-q\cdot\sum\limits_{n=0}^N q^n=\sum\limits_{n=0}^N q^n-\sum\limits_{n=0}^N q^{n+1}$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\left(q^0+\sum\limits_{n=1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=0}^{N-1}q^{n+1}+q^{N+1}\right)$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=\left(1+\sum\limits_{n=1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{N}q^{n}+q^{N+1}\right)$$$$\phantom{S_N-q\cdot S_N}=1-q^{N+1}$$$$\Longrightarrow\quad(1-q)\cdot S_N=1-q^{N+1}$$$$\Longrightarrow\quad S_N=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$$
Für \(N\to\infty\) haben wir also:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad |q|<1$$Damit ist in diesem konkreten Fall für \(|x|<1\):$$\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}x^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-x)^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^{n}=\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}$$
