Konvergenz der Reihe [sum ((k!*2^k)/k^k), k=1 to infinity] zeigen.

Question

Wie zeige ich die Konvergenz folgender Reihe?

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k ! 2^{k}}{k^{k}} \)

Answer 1

Das geht wohl am einfachsten mit dem Quotientenkriterium:

$$\left| \frac { \frac { (k+1)!2^{ k+1 } }{ (k+1)^{ k+1 } }  }{ \frac { k!{ 2 }^{ k } }{ k^{ k } }  }  \right|$$$$=\frac { (k+1)!2^{ k+1 } }{ (k+1)^{ k+1 } } *\frac { { k }^{ k } }{ k!{ 2 }^{ k } }$$$$=\frac { (k+1)2^{ k+1 } }{ (k+1)^{ k+1 } } *\frac { { k }^{ k } }{ { 2 }^{ k } }$$$$=\frac { 2^{ k+1 } }{ (k+1)^{ k } } *\frac { { k }^{ k } }{ { 2 }^{ k } }$$$$=\frac { 2*2^{ k } }{ (k+1)^{ k } } *\frac { { k }^{ k } }{ { 2 }^{ k } }$$$$=\frac { 2 }{ (k+1)^{ k } } *\frac { { k }^{ k } }{ 1 }$$$$=2*\frac { { k }^{ k } }{ (k+1)^{ k } }$$$$=2*{ \left( \frac { k }{ k+1 }  \right)  }^{ k }$$$$=2*{ \left( \frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ k }  }  \right)  }^{ k }$$$$=\frac { 2 }{ \left( 1+\frac { 1 }{ k }  \right) ^{ k } }$$Es gilt:$$\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 2 }{ \left( 1+\frac { 1 }{ k }  \right) ^{ k } }  \right)  } =\frac { 2 }{ e } =0.735...$$also ist$$\frac { 2 }{ \left( 1+\frac { 1 }{ k }  \right) ^{ k } } <0,8<1$$für fast alle k und damit ist gezeigt, dass die Reihe absolut konvergent ist.