Berechnen Sie eine Givens-Rotation G so, dass nach der Anwendung dieser von links auf a dieser in die Spalte a`= …

Question

Ich habe eine Aufgabe zur Givens Rotation zu lösen, mit der ich leider nichts anfangen kann. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

Gegeben sei der Vektor a=$\begin{pmatrix} -2\\-4\\4 \end{pmatrix}$.

Berechnen Sie eine Givens-Rotation G so, dass nach der Anwendung dieser von links auf a dieser in die Spalte a`=$\begin{pmatrix} γ\\0\\4 \end{pmatrix}$ übergeht. Machen Sie eine Probe!

Lg Gustavo

Answer 1

Hallo Gustavo,

D.h. Du sollst den Vektor $a$ von links mit einer orthogonalen 3x3-Matrix $G$ multiplizieren, so dass $a'$ dabei heraus kommt. $$a'= G \cdot a = \begin{pmatrix}\gamma\\ 0\\ 4\end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\ -4\\ 4\end{pmatrix}$$So wie $a'$ beschaffen ist, ist das hier eine $G_{2,1}$, die allgemein so aussieht$$G_{2,1} = \begin{pmatrix}c& s& 0\\ -s& c& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$und in diesem speziellen Fall ist$$\rho =\operatorname{sgn}(a_1)\sqrt{a_1^2+a_2^2} = -\sqrt{(-2)^2+(-4)^2} = -2\sqrt 5\\ c=\frac{a_{1}}{\rho} = \frac{-2}{-2\sqrt 5} = \frac1{\sqrt 5} \\s=\frac{a_{2}}{\rho} = \frac{-4}{-2\sqrt 5}= \frac{2}{\sqrt 5} \\ G = G_{2,1} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt 5& 2/\sqrt 5& 0\\ -2/\sqrt 5& 1/\sqrt 5& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$Die Probe ist dann$$\begin{pmatrix} 1/\sqrt 5& 2/\sqrt 5& 0\\ -2/\sqrt 5& 1/\sqrt 5& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2\\ -4\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\sqrt 5\\ 0\\ 4\end{pmatrix}$$Gruß Werner

Comments

Hallo Werner.

Danke für deine schnelle Antwort, deine Rechnung habe ich kapiert.

Eine Frage hätte ich allerdings noch. Worum handelt es sich bei a₁ und a₂?

Ich hätte gedacht um die Einträge des Vektors a. Aber das kann ja nicht sein, denn dann wäre a₁=-2 und a₂=-4 und somit c= 2/5 bspw.

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Eine Frage hätte ich allerdings noch. Worum handelt es sich bei a1 und a2?
Ich hätte gedacht um die Einträge des Vektors a

das ist richtig. $a_1$ und $a_2$ sind die Elemente des Vektors $a$ $$a=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\ -4\\ 4\end{pmatrix}$$

Aber das kann ja nicht sein, denn dann wäre a1=-2 und a2=-4 und somit c= 2/5 bspw.

Der (vorzeichenbehaftete) Betrag $\rho$ von $a_1$ und $a_2$ ist$$\rho = \operatorname{sgn}(a_1) \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = -2\sqrt 5$$Folglich ist z.B.$$c = \frac{a_1}{\rho} = \frac{-2}{-2\sqrt 5} = \frac 1{\sqrt 5}$$

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Btw.: in welchem Studiengang wird denn 'Givens-Rotation' gelehrt?

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noch 'n Hinweis: Laut der Erklärung der Indizierung der Matrix $G_{i,k}$ im Wiki-Artikel müsste es oben in meiner Antwort $G_{2,1}$ heißen. Im gleichen Artikel wird es aber bei den Beispielen genau anders herum benutzt!

Bei Geogebra heißt es konsequent $G_{2,1}$.

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Alles klar, Vielen Dank!

Habe mich nur verrechnet. Bei mir war (-2)²+4²=25 :(

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$\sqrt{(-2)^2+4^2}$=$\sqrt{25}$=5

$$\sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt 5$$Vielleicht ist auch schon zu spät am Tag ;-)

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ja. Es scheint so :)

Eine Frage hätte ich bei der Gelegenheit noch. Wie bestimme ich das Signum genau?

Wenn ich bei dem Vektor oben z.b das sgn(a₃) bestimmen will, achte ich dann einfach auf das Vorzeichen, also in dem Fall +, wegen +4? und dementsprechend ist das sgn(a₃) dann +?

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$\operatorname{sgn}$ soll die Vorzeichenfunktion sein. Ich sehe aber gerade, dass das hier nicht der Definition im Wiki-Artikel entspricht! Hier gilt $$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases}+1 &x \ge 0\\ -1 & x \lt 0\end{cases}$$wobei $\rho \ne 0$ sein sollte, aber anders macht es sowieso keinen Sinn.

Answer 2

Für $a \, := \, \left(\begin{array}{r}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\\\end{array}\right)$

a₂₁ = 0

$Q=\left(\begin{array}{rrr}\frac{a11}{\sqrt{a21^{2} + a11^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(a11 \right)}&\frac{a21}{\sqrt{a21^{2} + a11^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(a11 \right)}&0\\\frac{-a21}{\sqrt{a21^{2} + a11^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(a11 \right)}&\frac{a11}{\sqrt{a21^{2} + a11^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(a11 \right)}&0\\0&0&1\\\end{array}\right)$

$Q \cdot a=\left(\begin{array}{r}-2 \; \sqrt{5}\\0\\4\\\end{array}\right)$

Grundlagen und app

https://www.geogebra.org/m/f2t62ad9