Berechnen Sie mit dem Satz von Gauß das Flussintegral ∫∫~v ·~dO, wobei S so orientiert sei,

Question

Aufgabe:

Es seien Q =(x, y, z)T ∈ R^3

x, y, z ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 2], S = ∂Q sein Rand und ~v : R^3 → R^3, ~v(x, y, z) = (x^2 , y^2 , 2z(2-y)+z^2)T

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie mit dem Satz von Gauß das Flussintegral ∫∫~v ·~dO, wobei S so orientiert sei,
dass der Normalenvektor nach außen zeigt.

Answer 1

Hallo,

du kannst nach dem Gaußschen Integralsatz das Kurvenintegral in ein Volumenintegral überführen, der Rand des Quaders hat einen abschnittsweise glatten Rand, \(v\) ist stetig differenzierbar. Der Quader ist als kartesisches Produkt kompakter Mengen kompakt im \(\mathbb{R}^3\).

Es gilt:$$\oiint_{S}\vec{v}\cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S=\iiint\limits_{Q=[0,1]\times[0,1]\times [0,2]}\operatorname{div}\vec{v}\, \mathrm{d}Q$$ Die Divergenz von \(\vec{v}\) ist:$$\operatorname{div}\vec{v}=\nabla \cdot \vec{v}=2x+2y+2(2-y)+2z=2(x+z+2)$$ D. h. es gilt:$$2\int \limits_{0}^{2}\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1}(x+z+2)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=14$$