Aussagen zum Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

1) Für alle Vektoren v,w∈R^n, beide ungleich dem Nullvektor, gilt: [v,w]>0.
2) Für jede Matrix A∈R^n×n und Eigenvektoren v∈Eλ(A), w∈Eμ(A) gilt: [Av,Aw]=λμ[v,w].
3) Es gibt Vektoren v,w∈R^3 der Länge 2 mit [v,w]=1.
4) Es seien x,y,z∈R^n. Falls x und y orthogonal zueinander sind und y senkrecht zu z steht, so ist auch x orthogonal zu z.

Problem/Ansatz:

1. falsch, kann negativ werden. Z.B. [(-1,-1,-1), (1,3,1)] = -5

2. ?

3. ?

4. falsch

Answer 1

2) folgt aus der Linearität des Skalarprodukts und der Definition von Eigenvektoren.

3) widerspricht der Linearität des Skalarprodukts.

Comments

3) Es gibt Vektoren v,w∈R³ der Länge 2 mit <v,w>=1.

oswald schrieb:

3) widerspricht der Linearität des Skalarprodukts.

wieso das denn? Wenn \(|\vec v| = |\vec w|=2\) und \(\angle(v,\,w) = \arccos\left(\frac 14\right)\), dann ist doch$$\left<\vec v,\,\vec w\right> = |\vec v| \cdot |\vec w| \cdot \cos(\angle(v,\,w)) = 2\cdot 2\cdot \frac 14 = 1$$oder sehe ich das falsch?

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Ja ich weiß auch nicht was ich mir dabei gedacht habe.