Wie berechne ich den Laplace Operator dieser Funktionen?

Question

Sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) eine zweimal differenzierbare Funktion mit

$$ \operatorname{grad}_{(x, y, z)} f=\left(\begin{array}{c} 2 x+e^{y-1} \\ \ln \left(x^{2}+z^{2}\right)-2(1-y) \\ 3 z\left(\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\right) \end{array}\right) . $$
Berechnen Sie den Laplace Operator von \( f \) :

Ich habe alle Funktionen zweimal abgeleitet:

2x+e^y-1

y= e^y-1

ln(x²+z²)-2(1-y)

x= 2(-x²+z²) / (x²+z²)²

z= 2(x-z)(x+2) / (x²+z²)²

3z(sin²(x)+cos²(x))

-> x,y,z Ableitung = 0

Jetzt habe ich die abgeleiteten Funktionen zusammengerechnet, jedoch bekomme ich kein vernünftiges Ergebnis.

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

Du hast dir zu viel Arbeit gemacht, denn:$$\Delta f=\operatorname{div}\left(\operatorname{grad}f\right)=\operatorname{div}\left(\begin{array}{c}2x+e^{y-1}\\\ln(x^2+z^2)-2(1-y)\\3z(\sin^2(x)+\cos^2(z))\end{array}\right)$$Du brauchst also lediglich jede Koordinate einmal abzuleiten:$$\Delta f=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x+e^{y-1}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\ln(x^2+z^2)-2(1-y)\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(3z(\sin^2(x)+\cos^2(z))\right)$$$$\phantom{\Delta f}=2+2+3(\sin^2(x)+\cos^2(z))+3z(-2\cos(z)\sin(z))$$$$\phantom{\Delta f}=4+3\left(\sin^2(x)+\cos^2(z)-z\sin(2z)\right)$$

Comments

Ahso okay, irgendwo hatte ich aber gelesen, dass man 2 mal ableiten muss, gilt das dann nur für spezielle Aufgaben?

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Man muss beim Laplace-Operator 2-mal ableiten. Das ist richtig. Aber hier liegt ja der Gradient der Funktion \(f\) vor, das ist ja schon die erste Ableitung von \(f\). Daher brauchst du hier nur noch 1 weiteres Mal abzuleiten.

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Ahhh okay, macht Sinn. Dankeschöön!