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Aufgabe:

Rotationsmatrix zwischen zwei Vektoren?


Problem/Ansatz:

Ich hab zwei Vektoren:

A = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

B= \( \begin{pmatrix} 0.025\\-1\\-2 \end{pmatrix} \)

Wie berechne ich daraus die 3x3 Rotationsmatrix, die den Vektor A in Richtung des Vektor B bringt?

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In Richtung b heißt b:=b/|b| gleiche Länge wie a.

a b = |a| |b| cos(α) ===> α = 153.4277884167°

Rotation um Achse n=(n1,n2,n3) , |n|=1

\(\small R_n(a, n1, n2, n3) \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}n1^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)&n1 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n3 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n1 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n2 \; \operatorname{sin} \left( a \right)\\n2 \; n1 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n3 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n2^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)&n2 \; n3 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n1 \; \operatorname{sin} \left( a \right)\\n3 \; n1 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) - n2 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n3 \; n2 \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + n1 \; \operatorname{sin} \left( a \right)&n3^{2} \; \left(1 - \operatorname{cos} \left( a \right) \right) + \operatorname{cos} \left( a \right)\\\end{array}\right)\)

R_n(α,n1,n2,n3) a = b

\(\small \left( \begin{array}{rrr}1.89 \; n1 \; n3 + 0.45 \; n2 - 0.01 \\ -0.45 \; n1 + 1.89 \; n2 \; n3 + 0.45 \\ 1.89 \; n3^{2} + 7.11 \cdot 10^{-15} \end{array} \right)=0\)

10^-15 ~ 0 ===> n1,n2,n3

\(R_{ab}=\left(\begin{array}{rrr}1&0.05&0.01\\0.05&-0.89&-0.45\\-0.01&0.45&-0.89\\\end{array}\right)\)

so etwa?

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Gefragt 20 Jan 2019 von Zel
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