Bestimmen Sie die Lösung der AWA.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung der AWA.

y' = xy - \( x^{3} \) ,   y(0) = 1

Problem/Ansatz:

Was wäre hier der Ansatz? Meine Vermutung:

Durch Trennung der Variablen. Jedoch sehe ich nicht direkt wie ich das tun soll.

Answer 1

Hallo,

diese DGL kannst Du nicht via "Trennung der Variablen" lösen , sondern mittels

"Variation der Konstanten"

y'=xy-x^3

y' -xy = -x^3

1.homogene DGL:

y' -xy =0 ->via Trennung der Variablen

dy/dx= xy

dy/y=x dx

ln|y|= x^2/2 +C

y_h=C₁ e^(x^2/2)

2. C₁=C(x)

yp=C(x) e^(x^2/2)

yp'= C' (x) e^(x^2/2) +C(x) e^(x^2/2) *x

3. yp und yp' in die DGL einsetzen

C'(x) *e^(x^2/2) = -x^3  , C(x) muß herausfallen ! ->Partielle Integration

C(x)= e^((-x^2)/2) (x^2+2)

4.yp=C(x) e^(x^2/2) =x^2+2

5. y=yh+yp

\( y(x)=c_{1} e^{x^{2} / 2}+x^{2}+2 \)

 6. AWB in die Lösung einsetzen:

C= -1

\( y(x)=x^{2}-e^{x^{2} / 2}+2 \)

Comments

... sondern mittels "Variation der Konstanten"

dieses Verfahren hat immer den 'unangenehmen Beigeschmack' auf irgendein hinderliches Integral zu treffen. So auch hier:$$\begin{aligned} y_p &= C(x)e^{\frac12 x^2}\\ C'(x)e^{\frac12 x^2} +C(x)xe^{\frac12 x^2} &= C(x)xe^{\frac12 x^2} - x^3 \\ C'(x) &= -\frac{x^3}{e^{\frac12 x^2}} \\ C(x) &= - \int \frac{x^3}{e^{\frac12 x^2}}\,\text dx &&|\, (!?)\\ \end{aligned}$$Ok - mit partieller Integration geht's dann wieder. Aber bei mir ist das mit dem Integrieren schon etwas länger her ;-)

Wäre es nicht einfacher für die partikuläre Lösung einfach einen Ansatz zu wählen, der dem Störglied vom Typ her entspricht? Rechts steht \(x^3\); also ein Polynom dritter Ordnung. Also wäre mein Ansatz$$y_p = ax^3+bx^2+cx + d, \quad y_p'=3ax^2+2bx+c$$Setzt man dies in die DGL ein, so kommt man nach dem Koeffizientenvergleich ...$$\begin{aligned} 3ax^2+2bx+c &= ax^4+bx^3+cx^2 + dx - x^3 \\ 0 &= ax^4 + (b-1)x^3 + (c-3a)x^2 + (d-2b)x + (-c) \end{aligned}\\ \implies a=0, \quad b=1,\quad c=0, \quad d=2 \\ \implies y_p = x^2+2$$... ganz schnell zur gleichen Lösung. Oder kann mir bei diesem Verfahren irgendwas verloren gehen?

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Es ist Geschmacksache , was man hier nimmt. das Integral ist nicht immer

aufwendig. Der User muß es sicher so machen, wie sein Prof es will.