Bestimme den Inhalt der von Κ eingeschlossenen Fläche.

Question

Aufgabe:

Sei \( \vec{f}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} \) und \(Κ:\space \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} 2\cos(t) + \cos(2t)\\2 \sin(t)-\sin(2t) \end{pmatrix},\quad 0 ≤ t ≤ 2π\)

Bestimme den Inhalt der von Κ eingeschlossenen Fläche.

Problem/Ansatz:

Ich glaube man kanns machen mit Hilfe von Satz von Stockes. Aber ich habs nicht gekriegt :(

Answer 1

Hallo,

wenn es nur um den Inhalt geht, verstehe ich nicht, warum noch eine vektorwertige Funktion gegeben ist. \(K\) sieht so aus:

Schau mal hier.

Du kannst, um den Flächeninhalt zu berechnen, die Sektorformel von Leibniz verwenden.$$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2\pi}2(2\cos(t)+\cos(2t))(\cos(t)-\cos(2t))+2(2\sin(t)-\sin(2t))(\sin(t)+\sin(2t)) \, dt \\ &=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2\pi}2-2\cos(3t) \, \mathrm{d}t=2\pi \end{aligned}$$

Comments

Danke sehr ... Ich kenne aber die Sektorformel von Leibniz nicht, deswegen muss ich den Satz von Stockes verwenden.

---

Hallo,

die Sektorformel von Leibniz folgt unmittelbar aus dem Satz von Green, der seinerseits ein Spezialfall des Satzes von Stokes ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Sektorformel_von_Leibniz#Zusammenhang_mit_den_Integrals%C3%A4tzen