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Aufgabe:

Sei \( \vec{f}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix} \) und \(Κ:\space \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} 2\cos(t) + \cos(2t)\\2 \sin(t)-\sin(2t) \end{pmatrix},\quad 0 ≤ t ≤ 2π\)

Bestimme den Inhalt der von Κ eingeschlossenen Fläche.

Problem/Ansatz:

Ich glaube man kanns machen mit Hilfe von Satz von Stockes. Aber ich habs nicht gekriegt :(

von

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Beste Antwort

Hallo,

wenn es nur um den Inhalt geht, verstehe ich nicht, warum noch eine vektorwertige Funktion gegeben ist. \(K\) sieht so aus:


Schau mal hier.

Du kannst, um den Flächeninhalt zu berechnen, die Sektorformel von Leibniz verwenden.$$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2\pi}2(2\cos(t)+\cos(2t))(\cos(t)-\cos(2t))+2(2\sin(t)-\sin(2t))(\sin(t)+\sin(2t)) \, dt \\ &=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2\pi}2-2\cos(3t) \, \mathrm{d}t=2\pi \end{aligned}$$

von 26 k

Danke sehr ... Ich kenne aber die Sektorformel von Leibniz nicht, deswegen muss ich den Satz von Stockes verwenden.

Hallo,

die Sektorformel von Leibniz folgt unmittelbar aus dem Satz von Green, der seinerseits ein Spezialfall des Satzes von Stokes ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Sektorformel_von_Leibniz#Zusammenhang_mit_den_Integrals%C3%A4tzen

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