Fläche des Einheitskreises mit subst a = sin phi... Wo ist die Wurzel hin?

Question

Aufgabe:

Substituiere den klassischen Pythagoras durch den trigonometrischen Pythagoras und berechne die Fläche des Einheitskreises mittels eines Integrals!

Problem/Ansatz:

Das Problem? :´D Das Problem ist, dass mein Mathelehrer meint, mit Urlaub wirds ja eh nichts Dolles, da könnten wir auch Mathe machen, und jede:r durfte sich "einen Glückskeks" ziehen...

$$ (1)\quad A_E = 4 \cdot \hspace{-.4em} \int \limits_{0}^{1}\hspace{-.3em}\sqrt{(1-b^{2})} \hspace{.3em}\textnormal d b \\ \textnormal{Subst}\\ (1.1)\quad\sin \phi \mathrel{\mathop{\raisebox{1pt}{\scriptsize$:$}}}= b \quad \stackrel{()'}{\Longrightarrow} \quad \frac{\textnormal d}{\textnormal d \phi} \sin \phi = \frac{\textnormal d}{\textnormal d b}b \quad \Longrightarrow \quad \cos \phi \hspace{.2em}\textnormal{d}\phi = \textnormal d b \\ \textnormal{Aber jetzt, zurück einsetzen:}\\ (2)\quad A_E=4 \cdot \hspace{-.4em} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2 \phi) \hspace{.3em} \textnormal d \phi $$

Ich verstehe soweit alles, nur nicht, wo die Wurzel auf einmal hin ist... Wer hilft meinem müden Hirn über den Hügel? ^^

Danke

Die Masch

Answer 1

\(\begin{aligned} & b=\sin\phi\implies &  & \sqrt{1-b^{2}}\,\mathrm{d}b\\ &  & = & \sqrt{1-\sin^{2}\phi}\cdot\cos\phi\,\mathrm{d}\phi\\ &  & = & \sqrt{1-\sin^{2}\phi}\cdot\sqrt{1-\sin^{2}\phi}\,\mathrm{d}\phi\\ &  & = & \left(1-\sin^{2}\phi\right)\,\mathrm{d}\phi \end{aligned}\)

Von der zweiten zur dritten Zeile wurde trigonometrischer Pythagroas verwendet.

Comments

Dümmer geht's nimmer... Also ich. Danke, jetzt kann ich weiter schlafen ^^