Fläche unter Wurzelfunktion halbieren

Question

Hallöchen, folgende Aufgabe:

Der Graph der Funktion f(x) = 3x^(1/2) -x (x ≥ 0) schließt mit der x-Achse eine Fläche vollständig ein. Die Gerade y=c halbiert diese Fläche. Berechnen Sie diesen Wert c.

(Hinweis: Verschieben Sie die Funktion f längs der y-Achse so, dass die gesuchte Fläche mit der x-Achse einschließt.)

Problem/Ansatz: Ich habe schon sehr lange, sehr viele Ansätze probiert, mein Problem ist, dass ich nicht genug Variablen eliminiert bekomme, im Endeffekt hat man ja sowohl die obere als auch die untere Grenze als Variable, sowie eben c. Ich bekomme c nicht in Abhängigkeit der beiden Grenzen bestimmt.

Ich würde mich grundsätzlich sehr darüber freuen, wenn nicht gleich die komplette Lösung kommt, sondern vielleicht erstmal nur ein Tipp, damit ich noch selbst nachdenken kann :)

Answer 1

Ich bekomme c nicht in Abhängigkeit der beiden Grenzen bestimmt.

Bestimme halt die beiden Grenzen in Abhängigkeit von c.

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f(x) = 3·x^(1/2) - x = 0 → x = 0 ∨ x = 9

A = ∫ (0 bis 9) (3·x^(1/2) - x) dx = 13.5

g(x) = 3·x^(1/2) - x - c = 0 → x = 1/2·(- 2·c ± 3·√(9 - 4·c) + 9)

A = ∫ (4.5 - c - 1.5·√(9 - 4·c) bis 4.5 - c + 1.5·√(9 - 4·c)) (3·x^(1/2) - x - c) dx = 13.5/2

(√2·(3·√(9 - 4·c) - 2·c + 9)^(3/2) - 27·√(9 - 4·c))/2 - √2·(- 3·√(9 - 4·c) - 2·c + 9)^(3/2)/2 = 13.5/2 --> c = 0.8326

Kann es sein, dass bei dieser Aufgabe ein CAS-Rechner erlaubt ist. Ansonsten wäre das sehr mühsam von Hand zu berechnen.

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Skizze

~plot~ 3x^(1/2)-x;0.8326;[[0|10|0|3]] ~plot~

Comments

Dankeschön! Ja, der CAS ist erlaubt.